Чтобы решить задачу о нахождении дисперсии ( D(X) ) и стандартного отклонения ( \sigma(X) ) случайной величины ( X ), необходимо следовать следующим шагам.
Шаг 1: Определение вероятностного распределения
Для начала, нужно получить вероятностное распределение случайной величины ( X ) из предоставленной таблицы. Данные таблицы должны содержать значения ( x_i ) и соответствующие вероятности ( P(X = x_i) ).
Шаг 2: Вычисление математического ожидания ( E(X) )
Математическое ожидание вычисляется по формуле:
[
E(X) = \sum (x_i \cdot P(X = x_i)
]
где ( x_i ) — это значение случайной величины, а ( P(X = x_i) ) — вероятность этого значения.
Шаг 3: Вычисление дисперсии ( D(X) )
Дисперсия вычисляется по формуле:
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2
]
где ( E(X^2) ) — это математическое ожидание квадрата случайной величины, которое вычисляется по формуле:
[
E(X^2) = \sum (x_i^2 \cdot P(X = x_i))
]
Шаг 4: Вычисление стандартного отклонения ( \sigma(X) )
Стандартное отклонение ( \sigma(X) ) вычисляется как корень квадратный из дисперсии:
[
\sigma(X) = \sqrt{D(X)}
]
Пример вычислений
Предположим, что у вас есть распределение с такими значениями:
| ( x_i ) |
( P(X = x_i) ) |
| 1 |
0.2 |
| 2 |
0.5 |
| 3 |
0.3 |
Вычислим ( E(X) ):
[
E(X) = (1 \cdot 0.2) + (2 \cdot 0.5) + (3 \cdot 0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1
]
Вычислим ( E(X^2) ):
[
E(X^2) = (1^2 \cdot 0.2) + (2^2 \cdot 0.5) + (3^2 \cdot 0.3) = (1 \cdot 0.2) + (4 \cdot 0.5) + (9 \cdot 0.3) = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9
]
Вычислим дисперсию ( D(X) ):
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 4.9 - (2.1)^2 = 4.9 - 4.41 = 0.49
]
Вычислим стандартное отклонение ( \sigma(X) ):
[
\sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{0.49} = 0.7
]
Ответ
Таким образом, дисперсия ( D(X) = 0.49 ) и стандартное отклонение ( \sigma(X) = 0.7 ).
Если у вас есть конкретная таблица, пожалуйста, предоставьте данные, и я смогу помочь вам с конкретными вычислениями.
