Сделать конспект этого текста: Исследуем взаимное расположение двух окружностей в зависимости от их радиусов r, R и расстояния d между их центрами. Для определённости будем считать, что r ≤ R. Если центры окружностей совпадают, т. е. d = 0, то окружности называются концентрическими, и окружность радиуса г лежит внутри круга радиуса R (рис. 288, а). Пусть d > 0. Введём прямоугольную систему координат Оху так, чтобы точка О была центром первой окружности, а точка с координатами (d; 0) — центром второй окружности. В этой системе координат уравнения первой и второй окружностей имеют вид х2 + у2 = R2, (х - d)2 + у2 = r2. (4) Рис. 288 Если система уравнений (4) имеет решением пару чисел х = х0, у = у0, то точка М0 (х0; у0) является общей точкой данных окружностей (рис. 288, б), и обратно: если М0 (x0; у0) — общая точка данных окружностей, то пара чисел х = х0, у = у0 является решением системы уравнений (4). Пусть система (4) имеет решением пару чисел x = х0, у = у0, т. е. справедливы числовые равенства Вычитая из первого равенства второе, подучаем равенство 2x0d - d2 = R2 - r2, откуда Заметим, что х0 > 0, поскольку R ≥ r и d > 0. Кроме того, как следует из первого равенства (5), т. е. для величин R, r и d должно выполняться неравенство или R2 + d2 - r2 ≤ 2dR. Последнее неравенство запишем в виде (d - R)2 ≤ r2. Отсюда следует, что -r ≤ d - R ≤ r, или R - r ≤ R + r. (7) Отметим, что х0 = R, если d = R - r или d = R + r, и x0 < R, если R - r < d < R + r. Итак, если система уравнений (4) имеет решение, то величина d удовлетворяет неравенствам (7). Поэтому, если не выполнено какое-то из неравенств (7), то система (4) не имеет решений и, следовательно, данные окружности не имеют общих точек. Так будет в двух случаях: 1) d < R - r, т. е. d + r < R (рис. 288, в). В этом случае окружность радиуса r лежит внутри круга радиуса Д. Говорят также, что одна окружность лежит внутри другой. 2) d > R + r (рис. 288, г). В этом случае говорят, что одна окружность лежит вне другой. Если неравенства (7) выполнены, то возможны три случая: 3) d = R - r, при этом R > r, поскольку d > 0. Как уже было отмечено, в этом случае x0 = R, поэтому из первого из равенств (5) следует, что y0 = 0. Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что пара чисел x = R, у = 0 есть решение системы (4). Таким образом, в данном случае окружности имеют ровно одну общую точку, и их взаимное расположение изображено на рисунке 288, д. Говорят, что окружности касаются изнутри. 4) d = R + r. В этом случае также х0 = R, поэтому y0 = 0, и непосредственно проверяется, что пара чисел x = R, у = 0 есть решение системы (4). Таким образом, в данном случае, как и в случае 3, окружности имеют ровно одну общую точку, но их взаимное расположение иное (рис. 288, е). Говорят, что окружности касаются извне. 5) R - r < d < R+ r. Как уже было отмечено, в этом случае число х0, определённое равенством (6), удовлетворяет неравенству x0 < R, поэтому из первого равенства (5) получаем два значения у0: и Нетрудно убедиться в том, что система (4) имеет в данном случае два решения: х = х0, и х = х0, Следовательно, окружности пересекаются в двух точках (см. рис. 288, б). Таким образом, если d ≠ 0, то возможны пять случаев взаимного расположения двух окружностей (см. рис. 288, б—е).