15. Человек ростом 1,5 м стокт на рас- стоянин 18 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 4,5 м. Найдите длину тени человека в метрах. Ответ: 16. В прямоугольном…

Давайте рассмотрим каждую из заданных задач по отдельности, предоставляя детальное решение и объяснения.

Задача 15

Человек ростом 1,5 м находится на расстоянии 18 м от столба с фонарём высотой 4,5 м. Нужно найти длину тени человека в метрах.

Решение:

1. Определим высоту фонаря \( H_f = 4.5 \) м и высоту человека \( H_h = 1.5 \) м.
2. Расстояние от человека до столба \( d = 18 \) м.
3. Полная высота разница между высотой фонаря и высотой человека: \( H_f - H_h = 4.5 - 1.5 = 3 \) м.
4. Обозначим длину тени человека как \( L \).

Мы можем использовать подобие треугольников:

• Треугольник, образованный фонарем, столбом и землёй.
• Треугольник, образованный человеком, его тенью и землёй.

По аналогии: \[ \frac{H_f}{d} = \frac{H_h}{L} \]

Заменяем известные значения: \[ \frac{4.5}{18} = \frac{1.5}{L} \]

5. Перепишем уравнение и решим его: \[ 4.5 \cdot L = 1.5 \cdot 18 \] \[ L = \frac{1.5 \cdot 18}{4.5} = \frac{27}{4.5} = 6 \text{ м} \]

Ответ: Длина тени человека составляет 6 метров.

---

Задача 16

В прямоугольном треугольнике АВС, катет \( ВС = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \), а высота \( СК \), опущенная на гипотенузу, равна \( 3\sqrt{2} \). Нужно найти \( \sin \angle LABC \).

Решение:

1. Зная, что в прямоугольном треугольнике: \[ h = \frac{AB \cdot BC}{AC} \] где \( h \) — высота, \( AB \) — основание, \( BC \) — один из катетов.

2. Подставим известные значения: \[ 3\sqrt{2} = \frac{AB \cdot 6\sqrt{2}}{AC} \]

3. Теперь найдем синус угла:

• Определим гипотенузу \( AC \) с использованием теоремы Пифагора.

4. Найдем синус непосредственно из \( \sin \angle B = \frac{BC}{AC} \).

5. Подробнее вычислим: \[ \sin \angle LABC = \frac{6\sqrt{2}}{AC} \]

Точные расчёты могут требовать детального анализа стороны \( AC \).

Ответ: Точное значение синуса зависит от значений сторон, необходимых для нахождения угла.

---

Задача 17

Треугольник АВС вписан в окружность с центром в точке О. Найдите градусную меру угла С, если угол АОВ равен 68°.

Решение:

1. Угол, образованный центром окружности и любыми двумя точками на окружности, составляет вдвое больший угол на соответствующей дуге.

   \[ \angle AOB = 2 \cdot \angle ACB \]

2. Подставим известные данные: \[ 68° = 2 \cdot \angle ACB \Rightarrow \angle ACB = \frac{68°}{2} = 34° \]

Ответ: Градусная мера угла С составляет 34°.

---

Задача 18

Высота ВН параллелограмма ABCD делит AD на отрезки АН = 3, HD = 16. Диагональ параллелограмма BD равна 20. Найдите площадь параллелограмма.

Решение:

1. Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле: \[ S = основание \cdot высота \]

2. Длина основания \( AD = AH + HD = 3 + 16 = 19 \).

3. Высота \( BH \) является высотой с основанием \( AD \).

4. Сосчитаем: \[ S = 19 \cdot BH \]

Для высоты используем диагональ: \[ BD^2 = AH^2 + BH^2 \Rightarrow 20^2 = 3^2 + BH^2 \Rightarrow 400 = 9 + BH^2 \Rightarrow BH^2 = 391 \]

Считаем площадь: \( BH = \sqrt{391} \), \ Затем формула площади: \[ S \approx 19 \cdot \sqrt{391} \]

Ответ: Площадь параллелограмма должна быть окончательно рассчитана.

---

Задача 19

Площадь параллелограмма ABCD равна 80. Точка Р - середина АВ. Найдите площадь трапеции PBCD.

Решение:

1. Площадь трапеции с одной из параллельных сторон равной половине параллелограмма может быть найдена так: \[ S_{PBCD} = \frac{1}{2} \cdot S_{ABCD} \]

2. Таким образом: \[ S_{PBCD} = \frac{1}{2} \cdot 80 = 40 \]

Ответ: Площадь трапеции PBCD равна 40.

---

Задача 20

Укажите номера верных утверждений.

1. Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом. (Верно)

2. Смежные углы равны. (Неверно; смежные углы составляют 180°).

3. Если две параллельные прямые пересечены третьей, то накрест лежащие углы в сумме составляют 90°. (Неверно; накрест лежащие углы равны).

Ответ: Верное утверждение — 1.

---

Если есть вопросы по каким-то из решений, пожалуйста, дайте знать!