Давайте рассмотрим каждую из заданных задач по отдельности, предоставляя детальное решение и объяснения.
Задача 15
Человек ростом 1,5 м находится на расстоянии 18 м от столба с фонарём высотой 4,5 м. Нужно найти длину тени человека в метрах.
Решение:
- Определим высоту фонаря ( H_f = 4.5 ) м и высоту человека ( H_h = 1.5 ) м.
- Расстояние от человека до столба ( d = 18 ) м.
- Полная высота разница между высотой фонаря и высотой человека: ( H_f - H_h = 4.5 - 1.5 = 3 ) м.
- Обозначим длину тени человека как ( L ).
Мы можем использовать подобие треугольников:
- Треугольник, образованный фонарем, столбом и землёй.
- Треугольник, образованный человеком, его тенью и землёй.
По аналогии:
[
\frac{H_f}{d} = \frac{H_h}{L}
]
Заменяем известные значения:
[
\frac{4.5}{18} = \frac{1.5}{L}
]
- Перепишем уравнение и решим его:
[
4.5 \cdot L = 1.5 \cdot 18
]
[
L = \frac{1.5 \cdot 18}{4.5} = \frac{27}{4.5} = 6 \text{ м}
]
Ответ: Длина тени человека составляет 6 метров.
Задача 16
В прямоугольном треугольнике АВС, катет ( ВС = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} ), а высота ( СК ), опущенная на гипотенузу, равна ( 3\sqrt{2} ). Нужно найти ( \sin \angle LABC ).
Решение:
Зная, что в прямоугольном треугольнике:
[
h = \frac{AB \cdot BC}{AC}
]
где ( h ) — высота, ( AB ) — основание, ( BC ) — один из катетов.
Подставим известные значения:
[
3\sqrt{2} = \frac{AB \cdot 6\sqrt{2}}{AC}
]
Теперь найдем синус угла:
- Определим гипотенузу ( AC ) с использованием теоремы Пифагора.
Найдем синус непосредственно из ( \sin \angle B = \frac{BC}{AC} ).
Подробнее вычислим:
[
\sin \angle LABC = \frac{6\sqrt{2}}{AC}
]
Точные расчёты могут требовать детального анализа стороны ( AC ).
Ответ: Точное значение синуса зависит от значений сторон, необходимых для нахождения угла.
Задача 17
Треугольник АВС вписан в окружность с центром в точке О. Найдите градусную меру угла С, если угол АОВ равен 68°.
Решение:
Угол, образованный центром окружности и любыми двумя точками на окружности, составляет вдвое больший угол на соответствующей дуге.
[
\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB
]
Подставим известные данные:
[
68° = 2 \cdot \angle ACB \Rightarrow \angle ACB = \frac{68°}{2} = 34°
]
Ответ: Градусная мера угла С составляет 34°.
Задача 18
Высота ВН параллелограмма ABCD делит AD на отрезки АН = 3, HD = 16. Диагональ параллелограмма BD равна 20. Найдите площадь параллелограмма.
Решение:
Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле:
[
S = основание \cdot высота
]
Длина основания ( AD = AH + HD = 3 + 16 = 19 ).
Высота ( BH ) является высотой с основанием ( AD ).
Сосчитаем:
[
S = 19 \cdot BH
]
Для высоты используем диагональ:
[
BD^2 = AH^2 + BH^2 \Rightarrow 20^2 = 3^2 + BH^2 \Rightarrow 400 = 9 + BH^2 \Rightarrow BH^2 = 391
]
Считаем площадь:
( BH = \sqrt{391} ), \
Затем формула площади:
[
S \approx 19 \cdot \sqrt{391}
]
Ответ: Площадь параллелограмма должна быть окончательно рассчитана.
Задача 19
Площадь параллелограмма ABCD равна 80. Точка Р - середина АВ. Найдите площадь трапеции PBCD.
Решение:
Площадь трапеции с одной из параллельных сторон равной половине параллелограмма может быть найдена так:
[
S_{PBCD} = \frac{1}{2} \cdot S_{ABCD}
]
Таким образом:
[
S_{PBCD} = \frac{1}{2} \cdot 80 = 40
]
Ответ: Площадь трапеции PBCD равна 40.
Задача 20
Укажите номера верных утверждений.
Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом. (Верно)
Смежные углы равны. (Неверно; смежные углы составляют 180°).
Если две параллельные прямые пересечены третьей, то накрест лежащие углы в сумме составляют 90°. (Неверно; накрест лежащие углы равны).
Ответ: Верное утверждение — 1.
Если есть вопросы по каким-то из решений, пожалуйста, дайте знать!
