Вычисли значение cos 159°, зная что cos 53° ≈ 3/5

Для вычисления значения \( \cos 159^\circ \) мы можем воспользоваться свойствами тригонометрических функций и, в частности, свойствами косинуса.

Шаг 1: Применяем тригонометрическую идентичность

Косинус можно выразить через косинус острых углов с использованием формулы: \[ \cos(180^\circ - x) = -\cos(x) \] Это значит, что \( \cos 159^\circ \) можно переписать как: \[ \cos 159^\circ = \cos(180^\circ - 21^\circ) = -\cos 21^\circ \]

Шаг 2: Как найти \( \cos 21^\circ \)

Теперь нам нужно найти значение \( \cos 21^\circ \). В задаче дано приближенное значение \( \cos 53^\circ \approx \frac{3}{5} \). Мы можем использовать связь между углами \( 53^\circ \) и \( 21^\circ \):

\[ 53^\circ + 21^\circ = 74^\circ \]

Нам удобнее использовать ещё одно тригонометрическое соотношение: \[ \cos(90^\circ - x) = \sin(x) \] Таким образом: \[ \cos 53^\circ = \sin 37^\circ \]

Шаг 3: Используем связи между углами

Существует соотношение: \[ \cos(90^\circ - x) = \sin x \] Таким образом: \[ \cos 53^\circ = \sin 37^\circ \approx \frac{3}{5} \]

Далее, \( \cos 21^\circ \) можно вычислить через дополнительные идентичности или использовать таблицы значений. Так как у нас нет точного значения \( \cos 21^\circ \), примем его приближенно, например через \( \cos 30^\circ \): \[ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \]

Однако нам не хватает информации для точного значения, поэтому используем известные значения. Из таблиц знаем: \[ \cos 21^\circ \approx 0.933 \]

Шаг 4: Подставляем в формулу

Теперь подставим \( \cos 21^\circ \) в нашу формулу: \[ \cos 159^\circ = -\cos 21^\circ \approx -0.933 \]

Ответ

Таким образом: \[ \cos 159^\circ \approx -0.933 \]

Эти пошаговые объяснения помогут вам понять, как использовать тригонометрические свойства для вычисления значений углов.