Назовите свойства функции, если ее производная: 1) положительна на данном промежутке; 2) отрицательна на данном промежутке; 3) обратилась в нуль в данной точке и при переходе через нее сменила знак с •- Ha 《+； 4) обратилась в нуль в данной точке и при переходе через нее сменила знак с 《+》Ha《 ； 5) имеет экстремум в данной точке: 6) монотонна на данном промежутке.

Давайте разберёмся с каждым из пунктов и узнаем, какие свойства функции можно определить на основе её производной. ### 1) Если производная положительна на данном промежутке: - **Свойство функции:** Функция является возрастающей на этом промежутке. Это означает, что значение функции увеличивается по мере увеличения аргумента. ### 2) Если производная отрицательна на данном промежутке: - **Свойство функции:** Функция является убывающей на этом промежутке. То есть, значение функции уменьшается по мере увеличения аргумента. ### 3) Если производная обратилась в нуль в данной точке и при переходе через неё сменила знак с «-» на «+»: - **Свойство функции:** В этой точке находится минимум функции. Это говорит о том, что функция достигает своего наименьшего значения в этой точке. ### 4) Если производная обратилась в нуль в данной точке и при переходе через неё сменила знак с «+» на «-»: - **Свойство функции:** В этой точке находится максимум функции. Здесь функция достигает своего наибольшего значения. ### 5) Если производная имеет экстремум в данной точке: - **Свойство функции:** В этой точке может находиться либо максимум, либо минимум функции. Это означает, что производная меняет свой знак, указывая на смену монотонности функции. ### 6) Если производная монотонна на данном промежутке: - **Свойство функции:** Она сохраняет своё поведение (возрастающее или убывающее) на этом промежутке. Если производная положительна и монотонна, функция будет строго возрастающей. Если отрицательна и монотонна, функция будет строго убывающей. ### Подытожим: - **Положительная производная**: функция возрастает. - **Отрицательная производная**: функция убывает. - **Производная = 0 с переходом «-» на «+»**: минимум. - **Производная = 0 с переходом «+» на «-»**: максимум. - **Экстремум производной**: относится к либо максимуму, либо минимуму функции. - **Монотонность производной**: определяет поведение функции (возрастает или убывает) на заданном промежутке. Эти свойства являются основными аспектами анализа функций и играют важную роль в математике, особенно в курсе анализа и изучения производных.