В коробке лежат 100 шнурков: 49 белых и 51 зелёный. Линда достаёт шнурки по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что в первый раз она достанет зелёный шнурок…

Для решения этой задачи мы будем использовать комбинаторный подход, рассматривая, как могут располагаться шнурки в последовательности, чтобы зеленый шнурок оказался третьим.

Шаг 1: Определение ситуации

У нас есть 100 шнурков:

• 49 белых (Б)
• 51 зеленый (З)

Мы хотим найти вероятность того, что Линда в первый раз достанет зеленый шнурок именно третьим по счету. Для этого третий шнурок должен быть зеленым, а первые два шнурка — белыми.

Шаг 2: Рассмотрим возможные последовательности

Чтобы третий шнурок был зеленым, первые два шнурка должны быть белыми. Таким образом, нас интересует последовательность, представимая следующим образом:

\[ (Б, Б, З) \]

В остальных местах шнурков могут быть как зеленые, так и белые, но важно, что третий по счету шнурок должен быть зеленым.

Шаг 3: Подсчет благоприятных исходов

Для первых двух шнурков мы выбираем 2 белых шнурка из 49, и третий шнурок должен быть зеленым.

После того как Линда достала 2 белых шнурка, у нас останется:

• 47 белых шнурков (49 - 2)
• 51 зеленый шнурок (без изменений)

Теперь необходимо выбрать позиции для оставшихся 97 шнурков (47 белых и 51 зеленый) из доступных 97 мест (включая уже выбранные).

Шаг 4: Подсчет общего числа способов вытащить шнурки

Обозначим общее количество шнурков после того, как мы уже выбрали два белых и один зеленый:

Останется:

• 47 белых
• 50 зеленых

Итак, у нас осталось разместить \( 47 + 50 = 97 \) шнурков, что можно сделать \( \binom{97}{47} \) способами, поскольку мы можем выбрать, где установить 47 белых шнурков.

Шаг 5: Общее число возможных вариантов выборки шнурков

Общее количество способов, как можно достать 100 шнурков в любом порядке:

\[ \binom{100}{49} \]

Шаг 6: Вероятность

Теперь мы можем найти вероятность \( P \), что третий шнурок окажется зеленым:

\[ P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{\binom{97}{47}}{\binom{100}{49}} \]

Шаг 7: Упрощение и окончательная вероятность

Чтобы упростить этот расчет, воспользуемся формулой биномиальных коэффициентов:

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Поэтому окончательная вероятность будет равна:

\[ P = \frac{\frac{97!}{47! \cdot 50!}}{\frac{100!}{49! \cdot 51!}} \]

Упрощая это выражение, мы можем сократить факториалы, но в большинстве случаев для расчетов такой подход будет достаточно.

Итог

В результате получаем вероятность того, что Линда в первый раз достанет зеленый шнурок именно третьим по счету при помощи комбинаторного подсчета.

Эту вероятность можно вычислить численно, если подставить значения в формулы.