8.Осевое сечение усеченного конуса - трапеция с основаниями 4 и 10, боковой стороной - 5. Найдите объём усечённого конуса, если П≈3 Ответ:

Чтобы найти объем усечённого конуса, сначала вспомним формулу для объема усечённого конуса:

\[ V = \frac{h}{3} \cdot (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \cdot S_2}) \]

где:

• \( V \) — объем усечённого конуса,
• \( h \) — высота усеченного конуса,
• \( S_1 \) и \( S_2 \) — площади оснований (в нашем случае это круги, но для трапеции найдем периметры оснований, чтобы перейти к радиусам).

В нашей задаче вовлечена информация о трапеции с основаниями 4 и 10 и боковой стороной 5.

Шаг 1: Найдем высоту усеченного конуса

Если рассматривать трапецию, основания которой равны 4 и 10 (это длина больших и малых оснований) и боковая сторона равна 5, можем использовать свойства трапеции для определения высоты.

Воспользуемся следующей формулой для высоты трапеции \( h_t \):

\[ h_t = \sqrt{b^2 - \left( \frac{a - c}{2} \right)^2} \]

где:

• \( b \) — боковая сторона (5),
• \( a \) — большое основание (10),
• \( c \) — маленькое основание (4).

Подставляем значения в формулу:

\[ h_t = \sqrt{5^2 - \left( \frac{10 - 4}{2} \right)^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \]

Шаг 2: Найдем площади оснований

Теперь найдем радиусы оснований усеченного конуса. Поскольку основания имеют длины 4 и 10, то радиусы \( R_1 \) (большее основание) и \( R_2 \) (меньшее основание) будут равны половинам этих длин:

\[ R_1 = \frac{10}{2} = 5 \] \[ R_2 = \frac{4}{2} = 2 \]

Теперь можем найти площади оснований усечённого конуса:

\[ S_1 = \pi R_1^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \approx 25 \cdot 3 = 75 \] \[ S_2 = \pi R_2^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi \approx 4 \cdot 3 = 12 \]

Шаг 3: Подставляем все данные в формулу объема

Теперь у нас есть все данные для нахождения объема:

\[ V = \frac{h_t}{3} \cdot (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \cdot S_2}) \]

Подключаем все значения:

\[ V = \frac{4}{3} \cdot (75 + 12 + \sqrt{75 \cdot 12}) \]

Сначала найдем \( \sqrt{75 \cdot 12} \):

\[ 75 \cdot 12 = 900 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{900} = 30 \]

Теперь подставим:

\[ V = \frac{4}{3} \cdot (75 + 12 + 30) = \frac{4}{3} \cdot 117 = 156 \]

Ответ:

Объем усечённого конуса составляет 156 (единиц кубических).