Симметричную монету подкидывают 16 16 раз. Во сколько раз вероятность события «монета выпала решкой ровно 10 10 раз» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 13 13…

Эта задача требует понимания биномиального распределения, которое описывает вероятности успеха и неудачи (в нашем случае — выпадение решки или орла) в серии испытаний.

Дано:

• Общее количество подбрасываний монеты \( n = 16 \).
• Событие A: монета выпала решкой ровно 10 раз.
• Событие B: монета выпала решкой ровно 13 раз.

Формула биномиального распределения

Вероятность выпадения решки \( k \) раз из \( n \) подбрасываний можно вычислить по формуле:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

где:

• \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент (количество способов выбрать \( k \) успехов из \( n \)).
• \( p \) — вероятность успеха (в данном случае, вероятность выпасть решкой, которая равна \( 0.5 \)).
• \( 1-p \) — вероятность неудачи (выпадение орла, также равна \( 0.5 \)).
• \( n-k \) — количество неудач.

Вычисление вероятностей

1. Для события A (решка 10 раз):

\[ P(X = 10) = \binom{16}{10} (0.5)^{10} (0.5)^{16-10} = \binom{16}{10} (0.5)^{16} \]

2. Для события B (решка 13 раз):

\[ P(X = 13) = \binom{16}{13} (0.5)^{13} (0.5)^{16-13} = \binom{16}{13} (0.5)^{16} \]

Соотношение вероятностей

Теперь нас интересует, во сколько раз вероятность события A больше вероятности события B.

\[ \frac{P(X = 10)}{P(X = 13)} = \frac{\binom{16}{10} (0.5)^{16}}{\binom{16}{13} (0.5)^{16}} = \frac{\binom{16}{10}}{\binom{16}{13}} \]

Расчет биномиальных коэффициентов

Используем свойства биномиальных коэффициентов:

\[ \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \]

Следовательно:

\[ \binom{16}{10} = \binom{16}{6} \quad \text{и} \quad \binom{16}{13} = \binom{16}{3} \]

Таким образом:

\[ \frac{P(X = 10)}{P(X = 13)} = \frac{\binom{16}{6}}{\binom{16}{3}} = \frac{\frac{16!}{6! \cdot 10!}}{\frac{16!}{3! \cdot 13!}} = \frac{13! \cdot 3!}{10! \cdot 6!} = \frac{3!}{(10 \cdot 9 \cdot 8)} = \frac{6}{720} = \frac{1}{120} \]

Итог

Вероятность события «монета выпала решкой ровно 10 раз» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 13 раз» в раз:

\[ \frac{P(X = 10)}{P(X = 13)} = \frac{1}{120} \quad \Rightarrow \quad П(A) = 120 \cdot P(B) \]

Таким образом, вероятность события A в 120 раз больше вероятности события B.