Эта задача требует понимания биномиального распределения, которое описывает вероятности успеха и неудачи (в нашем случае — выпадение решки или орла) в серии испытаний.
Дано:
- Общее количество подбрасываний монеты ( n = 16 ).
- Событие A: монета выпала решкой ровно 10 раз.
- Событие B: монета выпала решкой ровно 13 раз.
Формула биномиального распределения
Вероятность выпадения решки ( k ) раз из ( n ) подбрасываний можно вычислить по формуле:
[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
]
где:
- ( \binom{n}{k} ) — биномиальный коэффициент (количество способов выбрать ( k ) успехов из ( n )).
- ( p ) — вероятность успеха (в данном случае, вероятность выпасть решкой, которая равна ( 0.5 )).
- ( 1-p ) — вероятность неудачи (выпадение орла, также равна ( 0.5 )).
- ( n-k ) — количество неудач.
Вычисление вероятностей
- Для события A (решка 10 раз):
[
P(X = 10) = \binom{16}{10} (0.5)^{10} (0.5)^{16-10} = \binom{16}{10} (0.5)^{16}
]
- Для события B (решка 13 раз):
[
P(X = 13) = \binom{16}{13} (0.5)^{13} (0.5)^{16-13} = \binom{16}{13} (0.5)^{16}
]
Соотношение вероятностей
Теперь нас интересует, во сколько раз вероятность события A больше вероятности события B.
[
\frac{P(X = 10)}{P(X = 13)} = \frac{\binom{16}{10} (0.5)^{16}}{\binom{16}{13} (0.5)^{16}} = \frac{\binom{16}{10}}{\binom{16}{13}}
]
Расчет биномиальных коэффициентов
Используем свойства биномиальных коэффициентов:
[
\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}
]
Следовательно:
[
\binom{16}{10} = \binom{16}{6} \quad \text{и} \quad \binom{16}{13} = \binom{16}{3}
]
Таким образом:
[
\frac{P(X = 10)}{P(X = 13)} = \frac{\binom{16}{6}}{\binom{16}{3}} = \frac{\frac{16!}{6! \cdot 10!}}{\frac{16!}{3! \cdot 13!}} = \frac{13! \cdot 3!}{10! \cdot 6!} = \frac{3!}{(10 \cdot 9 \cdot 8)} = \frac{6}{720} = \frac{1}{120}
]
Итог
Вероятность события «монета выпала решкой ровно 10 раз» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 13 раз» в раз:
[
\frac{P(X = 10)}{P(X = 13)} = \frac{1}{120} \quad \Rightarrow \quad П(A) = 120 \cdot P(B)
]
Таким образом, вероятность события A в 120 раз больше вероятности события B.
