Давайте разберем уравнение окружности, которое дано в форме (x^2 + 6x + y^2 - 4y - 12 = 0). Чтобы найти координаты центра окружности и радиус, мы начнем с преобразования уравнения в стандартный вид окружности.
Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду.
Стандартная форма уравнения окружности имеет вид:
[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2,
]
где ((h, k)) — это координаты центра окружности, а (r) — радиус.
Для начала, нужно собрать и упростить уравнение, группируя (x) и (y):
[
x^2 + 6x + y^2 - 4y = 12.
]
Теперь мы должны завершить квадрат для компонентов (x) и (y).
Шаг 2: Завершение квадрата для (x).
Для выражения (x^2 + 6x) мы добавим и вычтем ((\frac{6}{2})^2 = 9):
[
x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9.
]
Шаг 3: Завершение квадрата для (y).
Для выражения (y^2 - 4y) мы добавим и вычтем ((\frac{-4}{2})^2 = 4):
[
y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4.
]
Шаг 4: Подставляем всё обратно в уравнение.
Теперь подставим полученные квадратные выражения обратно в уравнение:
[
((x + 3)^2 - 9) + ((y - 2)^2 - 4) = 12.
]
Упрощая уравнение, получим:
[
(x + 3)^2 + (y - 2)^2 - 9 - 4 = 12,
]
что можно записать как:
[
(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 12 + 9 + 4 = 25.
]
Шаг 5: Получаем стандартный вид уравнения окружности.
Теперь у нас есть уравнение окружности в стандартном виде:
[
(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 25.
]
Шаг 6: Чтение центра и радиуса.
Сравнивая с общей формой ((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2), мы видим, что:
- Центр окружности ((h, k) = (-3, 2)).
- Радиус (r = \sqrt{25} = 5).
Ответ:
- Координаты центра окружности: ((-3, 2))
- Радиус окружности: (5)
