найдите координаты центра и радиус окружности заданной уравнением х^2+6x+y^2-4y-12=0
Давайте разберем уравнение окружности, которое дано в форме \(x^2 + 6x + y^2 - 4y - 12 = 0\). Чтобы найти координаты центра окружности и радиус, мы начнем с преобразования уравнения в стандартный вид окружности.
Шаг 1: Приведение уравнения к стандартному виду.
Стандартная форма уравнения окружности имеет вид: \[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, \] где \((h, k)\) — это координаты центра окружности, а \(r\) — радиус.
Для начала, нужно собрать и упростить уравнение, группируя \(x\) и \(y\):
\[ x^2 + 6x + y^2 - 4y = 12. \]
Теперь мы должны завершить квадрат для компонентов \(x\) и \(y\).
Шаг 2: Завершение квадрата для \(x\).
Для выражения \(x^2 + 6x\) мы добавим и вычтем \((\frac{6}{2})^2 = 9\):
\[ x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9. \]
Шаг 3: Завершение квадрата для \(y\).
Для выражения \(y^2 - 4y\) мы добавим и вычтем \((\frac{-4}{2})^2 = 4\):
\[ y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4. \]
Шаг 4: Подставляем всё обратно в уравнение.
Теперь подставим полученные квадратные выражения обратно в уравнение:
\[ ((x + 3)^2 - 9) + ((y - 2)^2 - 4) = 12. \]
Упрощая уравнение, получим:
\[ (x + 3)^2 + (y - 2)^2 - 9 - 4 = 12, \]
что можно записать как:
\[ (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 12 + 9 + 4 = 25. \]
Шаг 5: Получаем стандартный вид уравнения окружности.
Теперь у нас есть уравнение окружности в стандартном виде:
\[ (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 25. \]
Шаг 6: Чтение центра и радиуса.
Сравнивая с общей формой \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), мы видим, что:
- Центр окружности \((h, k) = (-3, 2)\).
- Радиус \(r = \sqrt{25} = 5\).
Ответ:
- Координаты центра окружности: \((-3, 2)\)
- Радиус окружности: \(5\)
