Реши
Давайте разберем решение задачи подробно.
Задача
Нужно вычислить длину дуги функции, заданной уравнением: \[ y = \sqrt{1 - x^2} + \arcsin{x} \] на отрезке \([0, \frac{1}{2}]\).
Формула длины дуги кривой
Длина дуги \( L \) кривой, заданной уравнением \( y = f(x) \), вычисляется по формуле: \[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx \] где \(\frac{dy}{dx}\) — производная функции \( y = f(x) \).
Шаг 1: Найти производную \(\frac{dy}{dx}\)
Функция задана следующим образом: \[ y = \sqrt{1 - x^2} + \arcsin{x} \]
Производная суммы функций равна сумме производных, поэтому вычислим производные отдельных частей.
Производная от \(\sqrt{1 - x^2}\): \[ \frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2}) = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} \]
Производная от \(\arcsin{x}\): \[ \frac{d}{dx}(\arcsin{x}) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \]
Комбинируя эти части, получаем: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} \]
Шаг 2: Подставить в формулу длины дуги
Подставим производную в формулу длины дуги: \[ L = \int_{0}^{1/2} \sqrt{1 + \left(\frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2} \, dx \]
Упростим выражение под корнем: \[ 1 + \left(\frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}}\right)^2 = 1 + \frac{(1-x)^2}{1-x^2} = \frac{(1-x^2) + (1-x)^2}{1-x^2} \]
Раскроем скобки: \[ (1-x)^2 = 1 - 2x + x^2 \]
Подставим: \[ 1-x^2 + 1 - 2x + x^2 = 2 - 2x = 2(1-x) \]
Таким образом, под корнем остается: \[ \sqrt{\frac{2(1-x)}{1-x^2}} = \sqrt{\frac{2}{1+x}} \]
Шаг 3: Вычислить интеграл
Теперь нужно вычислить интеграл: \[ L = \int_{0}^{1/2} \sqrt{\frac{2}{1+x}} \, dx = \sqrt{2} \int_{0}^{1/2} \frac{1}{\sqrt{1+x}} \, dx \]
Известно, что: \[ \int \frac{1}{\sqrt{1+x}} \, dx = 2\sqrt{1+x} + C \]
Вычислим определенный интеграл: \[ L = \sqrt{2} \left[ 2\sqrt{1+x} \right]_{0}^{1/2} = 2\sqrt{2} \left( \sqrt{1+\frac{1}{2}} - \sqrt{1} \right) = 2\sqrt{2} (\sqrt{1.5} - 1) \]
\[ = 2\sqrt{2} (\sqrt{\frac{3}{2}} - 1) \]
\[ = 2\sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} - 1\right) = 2(\sqrt{3} - \sqrt{2}) \]
Поскольку в задаче сказано выразить ответ в виде \( a(\sqrt{b} - \sqrt{c}) \), где \( a = 2 \), \( b = 3 \) и \( c = 2 \), произведение \( abc = 2 \times 3 \times 2 = 12 \).
Ответ
Произведение \(abc\) равно \(12\).
