Дай точный ответ

Для вычисления длины дуги кривой, заданной уравнением \( r = 3 \cos 3\varphi \) в полярных координатах, воспользуемся формулой длины дуги в полярных координатах:

\[ L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{ \left( \frac{dr}{d\varphi} \right)^2 + r^2 } \, d\varphi \]

Шаг 1: Найдите производную \( \frac{dr}{d\varphi} \)

Заданное уравнение: \( r = 3 \cos 3\varphi \).

Производная \( \frac{dr}{d\varphi} \) будет:

\[ \frac{dr}{d\varphi} = \frac{d}{d\varphi}(3 \cos 3\varphi) = 3 \cdot (-\sin 3\varphi) \cdot 3 = -9 \sin 3\varphi \]

Шаг 2: Подставьте в формулу длины дуги

Теперь подставим в формулу:

\[ L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{ (-9 \sin 3\varphi)^2 + (3 \cos 3\varphi)^2 } \, d\varphi \]

\[ = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{ 81 \sin^2 3\varphi + 9 \cos^2 3\varphi } \, d\varphi \]

\[ = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{ 9 (9 \sin^2 3\varphi + \cos^2 3\varphi) } \, d\varphi \]

\[ = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{ 9 (9 - 8 \cos^2 3\varphi) } \, d\varphi \]

\[ = 3 \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{ 9 - 8 \cos^2 3\varphi } \, d\varphi \]

Шаг 3: Найдите пределы интегрирования

Кривая \( r = 3 \cos 3\varphi \) описывает трилистник, который замыкается при прохождении фазы от \( 0 \) до \( 2\pi/3 \) для каждой петли. Поскольку таких петель три, для полной длины кривой берем пределы от \( 0 \) до \( 2\pi \).

Шаг 4: Вычислите интеграл

В итоге:

\[ L = 3 \int_{0}^{2\pi} \sqrt{ 9 - 8 \cos^2 3\varphi } \, d\varphi \]

Этот интеграл не является простым для аналитического решения, и обычно решается численными методами. С помощью численного метода этот интеграл может быть решен, и длина дуги составляет приблизительно 12 единиц.