реши
Для решения задачи о нахождении объемов тел вращения, начнем с анализа предоставленной фигуры и условий. Нужно найти объемы тел, полученные вращением фигуры вокруг оси \( Ox \) и оси \( Oy \).
1. Вращение вокруг оси \( Ox \):
При вращении криволинейной фигуры вокруг оси \( Ox \), формула цилиндрического слоя для нахождения объема \( V_x \) позволяет использовать интеграл:
\[ V_x = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \]
Функция: \( y = \frac{6}{x} \) (из уравнения \( xy = 6 \)).
Границы интегрирования:
- \( x = 1 \) до \( x = 4 \).
Подставим значения в формулу объема:
\[ V_x = \pi \int_{1}^{4} \left(\frac{6}{x}\right)^2 \, dx = \pi \int_{1}^{4} \frac{36}{x^2} \, dx \]
Теперь вычислим интеграл: \[ \int \frac{36}{x^2} \, dx = \int 36x^{-2} \, dx = 36 \left[-x^{-1}\right] = -\frac{36}{x} \]
Применим пределы интегрирования: \[ V_x = \pi \left[ -\frac{36}{4} - \left(-\frac{36}{1}\right) \right] = \pi \left( -9 + 36 \right) = 27\pi \]
2. Вращение вокруг оси \( Oy \):
При вращении криволинейной фигуры вокруг оси \( Oy \), используем метод цилиндрических оболочек:
\[ V_y = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot f(x) \, dx \]
Функция: \( y = \frac{6}{x} \).
Границы интегрирования:
- \( x = 1 \) до \( x = 4 \).
Подставим значения в формулу объема:
\[ V_y = 2\pi \int_{1}^{4} x \cdot \frac{6}{x} \, dx = 2\pi \int_{1}^{4} 6 \, dx \]
Теперь вычислим интеграл:
\[ \int 6 \, dx = 6x \]
Применим пределы интегрирования: \[ V_y = 2\pi \left[ 6 \times 4 - 6 \times 1 \right] = 2\pi \times (24 - 6) = 36\pi \]
Заключение
Полученные объемы:
\[ V_x = 27\pi \] \[ V_y = 36\pi \]
Сравним с формулой \( V_x = a\pi \) и \( V_y = b\pi \), где \( a = 27 \) и \( b = 36 \).
Ответ — сумма: \[ a + b = 27 + 36 = 63 \]
Таким образом, ответ: \( 63 \).
