реши

Чтобы решить этот интеграл, используем метод интегрирования по частям. Формула для интегрирования по частям:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

В нашем случае, давайте положим:

• \( u = \ln x \) \(\Rightarrow\) \( du = \frac{1}{x} \, dx \)
• \( dv = x \, dx \) \(\Rightarrow\) \( v = \frac{x^2}{2} \)

Теперь применим формулу интегрирования по частям:

\[ \int x \ln x \, dx = \left[ \ln x \cdot \frac{x^2}{2} \right]_0^1 - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx \]

\[ = \left[ \frac{x^2}{2} \ln x \right]_0^1 - \int \frac{x}{2} \, dx \]

Теперь вычислим первый член:

\[ \left[ \frac{x^2}{2} \ln x \right]_0^1 = \left[ \frac{1^2}{2} \ln 1 - \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{2} \ln x \right] \]

Так как \(\ln 1 = 0\), первый член при верхнем пределе равен нулю.

Для \(\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{2} \ln x\): при пределе \(x \to 0^+\), \(x^2 \ln x\) стремится к нулю быстрее, чем \(\ln x\) уходит на \(-\infty\). Таким образом, весь предел равен нулю.

Теперь решим второй интеграл:

\[ \int \frac{x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{4} \]

Теперь подставим пределы:

\[ \left[ \frac{x^2}{4} \right]_0^1 = \frac{1^2}{4} - 0 = \frac{1}{4} \]

Таким образом, исходный интеграл равен:

\[ 0 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4} \]

Сравнивая с формой ответа \( -\frac{a}{b} \), мы видим, что \( a = 1 \) и \( b = 4 \). Следовательно, произведение \( ab = 1 \times 4 = 4 \).