Реши

Чтобы решить этот интеграл, используем метод интегрирования по частям. Формула для интегрирования по частям: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] В нашем случае, давайте положим: - \( u = \ln x \) \(\Rightarrow\) \( du = \frac{1}{x} \, dx \) - \( dv = x \, dx \) \(\Rightarrow\) \( v = \frac{x^2}{2} \) Теперь применим формулу интегрирования по частям: \[ \int x \ln x \, dx = \left[ \ln x \cdot \frac{x^2}{2} \right]_0^1 - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx \] \[ = \left[ \frac{x^2}{2} \ln x \right]_0^1 - \int \frac{x}{2} \, dx \] Теперь вычислим первый член: \[ \left[ \frac{x^2}{2} \ln x \right]_0^1 = \left[ \frac{1^2}{2} \ln 1 - \lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{2} \ln x \right] \] Так как \(\ln 1 = 0\), первый член при верхнем пределе равен нулю. Для \(\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2}{2} \ln x\): при пределе \(x \to 0^+\), \(x^2 \ln x\) стремится к нулю быстрее, чем \(\ln x\) уходит на \(-\infty\). Таким образом, весь предел равен нулю. Теперь решим второй интеграл: \[ \int \frac{x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{4} \] Теперь подставим пределы: \[ \left[ \frac{x^2}{4} \right]_0^1 = \frac{1^2}{4} - 0 = \frac{1}{4} \] Таким образом, исходный интеграл равен: \[ 0 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4} \] Сравнивая с формой ответа \( -\frac{a}{b} \), мы видим, что \( a = 1 \) и \( b = 4 \). Следовательно, произведение \( ab = 1 \times 4 = 4 \).