Для того чтобы определить математическое ожидание количества очков, которые ученик получит или потеряет за один бросок кубика, давай сначала разберемся с возможными результатами броска и их значениями.
Шестигранный кубик:
Кубик имеет 6 граней, на которых представлены числа от 1 до 6. Давай рассмотрим выпадение каждого числа:
Чётные числа: 2, 4, 6
- Если выпадает 2, то ученик получает 2 очка.
- Если выпадает 4, то ученик получает 4 очка.
- Если выпадает 6, то ученик получает 6 очков.
Нечётные числа: 1, 3, 5
- Если выпадает 1, то ученик теряет 1 очко.
- Если выпадает 3, то ученик теряет 3 очка.
- Если выпадает 5, то ученик теряет 5 очков.
Теперь нам нужно рассмотреть каждое значение и его вероятность. На обычном шестигранном кубике каждый результат (число) имеет равные шансы на выпадение, то есть вероятность каждого числа равна ( \frac{1}{6} ).
Теперь рассмотрим, как мы можем вычислить математическое ожидание (МО). Оно рассчитывается с помощью формулы:
[
E(X) = \sum (x_i \cdot P(x_i))
]
где ( x_i ) — это значение, а ( P(x_i) ) — это вероятность этого значения.
Теперь подставим значения:
Для четных чисел:
- Вклад от 2: ( 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{6} )
- Вклад от 4: ( 4 \cdot \frac{1}{6} = \frac{4}{6} )
- Вклад от 6: ( 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{6}{6} )
Для нечётных чисел:
- Вклад от 1: ( -1 \cdot \frac{1}{6} = -\frac{1}{6} )
- Вклад от 3: ( -3 \cdot \frac{1}{6} = -\frac{3}{6} )
- Вклад от 5: ( -5 \cdot \frac{1}{6} = -\frac{5}{6} )
Теперь сложим все эти вклады:
[
E(X) = \left( \frac{2}{6} + \frac{4}{6} + \frac{6}{6} - \frac{1}{6} - \frac{3}{6} - \frac{5}{6} \right)
]
Сначала посчитаем суммы положительных и отрицательных вкладов:
Положительные вклады:
[
\frac{2}{6} + \frac{4}{6} + \frac{6}{6} = \frac{12}{6} = 2
]
Отрицательные вклады:
[
-\left( \frac{1}{6} + \frac{3}{6} + \frac{5}{6} \right) = -\frac{9}{6} = -1.5
]
Теперь сложим положительные и отрицательные вклады:
[
E(X) = 2 - 1.5 = 0.5
]
Таким образом, математическое ожидание количества очков, которое ученик получит или потеряет за один бросок кубика, равно 0.5.
Итог: Ученик в среднем получит 0.5 очка за один бросок кубика.
