|x+2|=3x

Чтобы решить уравнение \(|x+2|=3x\), начнем с того, что нужно учитывать, что модуль \(|a|\) определяет два случая в зависимости от знака выражения \(a\). В данном случае, у нас есть выражение внутри модуля \(x + 2\).

Шаг 1: Выделение случаев

Мы можем разделить решение на два случая, в зависимости от значения \(x + 2\).

Случай 1: \(x + 2 \geq 0\) (то есть \(x \geq -2\))
В этом случае \(|x + 2| = x + 2\), и уравнение становится: \[ x + 2 = 3x \] Теперь решим это уравнение:

1. Переносим \(x\) на правую сторону: \[ 2 = 3x - x \] \[ 2 = 2x \]
2. Делим обе стороны на 2: \[ x = 1 \]

Теперь проверим, подходит ли найденное значение \(x = 1\) для этого случая. Подставим \(x = 1\) в условие \(x \geq -2\): \[ 1 \geq -2 \quad (\text{верно}) \] Таким образом, \(x = 1\) — допустимое решение для первого случая.

Случай 2: \(x + 2 < 0\) (то есть \(x < -2\))
В этом случае \(|x + 2| = -(x + 2)\) и уравнение станет: \[ -(x + 2) = 3x \] Решим это уравнение:

1. Упростим: \[ -x - 2 = 3x \]
2. Переносим все \(x\) на одну сторону: \[ -2 = 3x + x \] \[ -2 = 4x \]
3. Делим обе стороны на 4: \[ x = -\frac{1}{2} \]

Теперь проверим, подходит ли найденное значение \(x = -\frac{1}{2}\) для этого случая. Подставим \(x = -\frac{1}{2}\) в условие \(x < -2\): \[ -\frac{1}{2} < -2 \quad (\text{неверно}) \] Таким образом, \(x = -\frac{1}{2}\) не является допустимым решением.

Шаг 2: Подведение итогов

Мы нашли одно допустимое решение: \(x = 1\). Другие возможные значения не удовлетворяют условиям.

Ответ

Таким образом, окончательное решение уравнения \(|x + 2| = 3x\) — это: \[ x = 1 \]