реши

Для решения этой задачи нам нужно найти касательную плоскость и нормаль к поверхности, заданной уравнением \(2x^2 + 2y^2 = 8\), в точке \(M(2; 2; 1)\).

Шаг 1: Убедиться, что точка принадлежит поверхности

Подставим координаты точки \(M(2, 2, 1)\) в уравнение поверхности:

\[2(2)^2 + 2(2)^2 = 8 + 8 = 16\]

Эта точка не удовлетворяет уравнению \(2x^2 + 2y^2 = 8\), значит, в условиях задачи ошибка. Будем считать, что третья координата равна 0: \(M(2, 2, 0)\).

Шаг 2: Найти частные производные

Найдем частные производные функции \(f(x, y, z) = 2x^2 + 2y^2 - 8\).

• \(\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2x^2) = 4x\)
• \(\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2y^2) = 4y\)
• \(\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(0) = 0\)

Шаг 3: Вычислить нормальный вектор в точке \(M(2, 2, 0)\)

Подставим координаты точки \(M(2, 2, 0)\) в найденные производные:

• \(\left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(2, 2, 0)} = 4 \times 2 = 8\)
• \(\left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(2, 2, 0)} = 4 \times 2 = 8\)
• \(\left. \frac{\partial f}{\partial z} \right|_{(2, 2, 0)} = 0\)

Нормальный вектор: \((8, 8, 0)\).

Шаг 4: Уравнение касательной плоскости

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке \( (x_0, y_0, z_0) \) имеет вид:

\[8(x - 2) + 8(y - 2) + 0(z - 0) = 0\]

Упростим:

\[8x - 16 + 8y - 16 = 0\]

\[8x + 8y - 32 = 0\]

Шаг 5: Окончательное уравнение

После приведения к форме \( Ax + By + Cz + D = 0 \), получаем:

\[8x + 8y - 32 = 0\]

Запишем ответ: 88832.