Реши

Для решения этой задачи нам нужно найти касательную плоскость и нормаль к поверхности, заданной уравнением \(2x^2 + 2y^2 = 8\), в точке \(M(2; 2; 1)\). ### Шаг 1: Убедиться, что точка принадлежит поверхности Подставим координаты точки \(M(2, 2, 1)\) в уравнение поверхности: \[2(2)^2 + 2(2)^2 = 8 + 8 = 16\] Эта точка не удовлетворяет уравнению \(2x^2 + 2y^2 = 8\), значит, в условиях задачи ошибка. Будем считать, что третья координата равна 0: \(M(2, 2, 0)\). ### Шаг 2: Найти частные производные Найдем частные производные функции \(f(x, y, z) = 2x^2 + 2y^2 - 8\). - \(\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2x^2) = 4x\) - \(\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2y^2) = 4y\) - \(\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(0) = 0\) ### Шаг 3: Вычислить нормальный вектор в точке \(M(2, 2, 0)\) Подставим координаты точки \(M(2, 2, 0)\) в найденные производные: - \(\left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(2, 2, 0)} = 4 \times 2 = 8\) - \(\left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(2, 2, 0)} = 4 \times 2 = 8\) - \(\left. \frac{\partial f}{\partial z} \right|_{(2, 2, 0)} = 0\) Нормальный вектор: \((8, 8, 0)\). ### Шаг 4: Уравнение касательной плоскости Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке \( (x_0, y_0, z_0) \) имеет вид: \[8(x - 2) + 8(y - 2) + 0(z - 0) = 0\] Упростим: \[8x - 16 + 8y - 16 = 0\] \[8x + 8y - 32 = 0\] ### Шаг 5: Окончательное уравнение После приведения к форме \( Ax + By + Cz + D = 0 \), получаем: \[8x + 8y - 32 = 0\] Запишем ответ: **88832**.