реши

Рассмотрим функцию \( f(x, y, z) = \frac{-x y^2 z}{2} - \ln(z - 1) \).

Чтобы найти градиент, необходимо посчитать частные производные функции \( f \) по каждой переменной. Затем подставим данные в точке \( A(1, 1, 2) \).

1. Найдем частные производные:

Частная производная по \( x \):

\[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{-x y^2 z}{2} - \ln(z - 1) \right) = \frac{-y^2 z}{2} \]

Частная производная по \( y \):

\[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{-x y^2 z}{2} - \ln(z - 1) \right) = -x y z \]

Частная производная по \( z \):

\[ \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{-x y^2 z}{2} - \ln(z - 1) \right) = \frac{-x y^2}{2} - \frac{1}{z - 1} \]

2. Подставим координаты точки \( A(1, 1, 2) \):

Вычисляем \(\frac{\partial f}{\partial x}\) в точке \( A \):

\[ \frac{\partial f}{\partial x}(1, 1, 2) = \frac{-1^2 \cdot 2}{2} = -1 \]

Вычисляем \(\frac{\partial f}{\partial y}\) в точке \( A \):

\[ \frac{\partial f}{\partial y}(1, 1, 2) = -1 \cdot 1 \cdot 2 = -2 \]

Вычисляем \(\frac{\partial f}{\partial z}\) в точке \( A \):

\[ \frac{\partial f}{\partial z}(1, 1, 2) = \frac{-1 \cdot 1^2}{2} - \frac{1}{2 - 1} = \frac{-1}{2} - 1 = -\frac{3}{2} \]

3. Градиент функции в точке \( A(1, 1, 2) \):

\[ \nabla f (1, 1, 2) = \left( -1, -2, -\frac{3}{2} \right) \]

4. Найдем длину градиента:

Длина вектора градиента \( \nabla f (1, 1, 2) \) вычисляется по формуле:

\[ |\nabla f| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + \left(-\frac{3}{2}\right)^2} \]

\[ |\nabla f| = \sqrt{1 + 4 + \frac{9}{4}} \]

\[ |\nabla f| = \sqrt{\frac{16}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} = 2.5 \]

Окончательный ответ: длина градиента равна \( 2.5 \).