Реши

Рассмотрим функцию \( f(x, y, z) = \frac{-x y^2 z}{2} - \ln(z - 1) \). Чтобы найти градиент, необходимо посчитать частные производные функции \( f \) по каждой переменной. Затем подставим данные в точке \( A(1, 1, 2) \). ### 1. Найдем частные производные: **Частная производная по \( x \):** \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{-x y^2 z}{2} - \ln(z - 1) \right) = \frac{-y^2 z}{2} \] **Частная производная по \( y \):** \[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{-x y^2 z}{2} - \ln(z - 1) \right) = -x y z \] **Частная производная по \( z \):** \[ \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{-x y^2 z}{2} - \ln(z - 1) \right) = \frac{-x y^2}{2} - \frac{1}{z - 1} \] ### 2. Подставим координаты точки \( A(1, 1, 2) \): **Вычисляем** \(\frac{\partial f}{\partial x}\) в точке \( A \): \[ \frac{\partial f}{\partial x}(1, 1, 2) = \frac{-1^2 \cdot 2}{2} = -1 \] **Вычисляем** \(\frac{\partial f}{\partial y}\) в точке \( A \): \[ \frac{\partial f}{\partial y}(1, 1, 2) = -1 \cdot 1 \cdot 2 = -2 \] **Вычисляем** \(\frac{\partial f}{\partial z}\) в точке \( A \): \[ \frac{\partial f}{\partial z}(1, 1, 2) = \frac{-1 \cdot 1^2}{2} - \frac{1}{2 - 1} = \frac{-1}{2} - 1 = -\frac{3}{2} \] ### 3. Градиент функции в точке \( A(1, 1, 2) \): \[ \nabla f (1, 1, 2) = \left( -1, -2, -\frac{3}{2} \right) \] ### 4. Найдем длину градиента: Длина вектора градиента \( \nabla f (1, 1, 2) \) вычисляется по формуле: \[ |\nabla f| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + \left(-\frac{3}{2}\right)^2} \] \[ |\nabla f| = \sqrt{1 + 4 + \frac{9}{4}} \] \[ |\nabla f| = \sqrt{\frac{16}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2} = 2.5 \] Окончательный ответ: длина градиента равна \( 2.5 \).