Игральную кость бросают дважды. Известно, что произведение выпавших очков чётно. Построй дерево этого случайного эксперимента. Найдите вероятность события: а) «при одном из…

Чтобы решить эту задачу, начнем с построения дерева вероятностей для двух бросков игральной кости. Игральная кость имеет 6 граней, и на каждой грани выпадает число от 1 до 6. Когда мы бросаем кость дважды, каждый бросок может быть независимым событием.

Шаг 1: Построение дерева вероятностей

1. Первый бросок:

   • Можно получить 1, 2, 3, 4, 5 или 6 (всего 6 вариантов).

2. Второй бросок:

   • После каждого результата первого броска, можно сделать второй бросок, получив опять 1, 2, 3, 4, 5 или 6 (всего 6 вариантов на каждом из 6 результатов первого броска).

Общая возможная комбинация результатов двух бросков составляет \(6 \times 6 = 36\) исходов.

Теперь нас интересует только те исходы, где произведение выпавших очков четное. Произведение двух чисел будет четным, если хотя бы одно из чисел даже. То есть, нас интересуют следующие исходы:

• Если хотя бы один из бросков – это 2, 4 или 6.
• В противном случае (если оба броска нечетные) произведение будет нечетным.

Нечетные числа: 1, 3, 5 (всего 3 варианта)

Четные числа: 2, 4, 6 (всего 3 варианта)

Таким образом, комбинации, где оба броска нечётные:

• (1, 1)
• (1, 3)
• (1, 5)
• (3, 1)
• (3, 3)
• (3, 5)
• (5, 1)
• (5, 3)
• (5, 5)

Итак, всего 9 исходов имеют произведение, которое нечетное. Это означает, что из 36 исходов, 27 имеют четное произведение.

Шаг 2: Найдите вероятность событий

а) Вероятность события «при одном из бросков выпало 5 очков»

Теперь посчитаем вероятность того, что хотя бы один из бросков равен 5. Для этого мы можем воспользоваться методом дополняющих событий:

1. Подсчитаем, сколько исходов не имеет 5:
   • Если первое число не 5, то второе может быть любым числом (1, 2, 3, 4, 6) — 5 исходов.
   • Если второе число не 5, то первое может быть 1, 2, 3, 4, 6 — ещё 5 вариантов.

Таким образом, если ни один из результатов не равен 5, то для каждого из 6 исходов первого броска у нас остается 5 возможных исходов для второго броска, что в сумме дает 25 исходов.

Итак, вероятность не получить 5 в любом броске: \[ P(\text{не 5}) = \frac{25}{36} \]

Следовательно, вероятность получения хотя бы одного 5: \[ P(\text{хотя бы один 5}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \]

б) Вероятность события «в сумме выпало больше 2, но меньше 7 очков»

Теперь найдем все исходы, сумма которых больше 2, но меньше 7.

Сумма больше 2:

• Минимальная сумма – 3 (1 + 2).
• Максимальная сумма, меньшая 7 – 6 (возможные комбинации: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)).

Теперь перечислим подходящие комбинации, которые дают суммы от 3 до 6:

• Сумма 3: (1, 2), (2, 1).
• Сумма 4: (1, 3), (3, 1), (2, 2).
• Сумма 5: (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2).
• Сумма 6: (1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3).

Итак, допустимые исходы:

• Сумма 3: 2 исхода (1, 2), (2, 1)
• Сумма 4: 3 исхода (1, 3), (3, 1), (2, 2)
• Сумма 5: 4 исхода (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)
• Сумма 6: 5 исходов (1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3)

Всего у нас 2 + 3 + 4 + 5 = 14 подходящих исходов.

Теперь рассчитываем вероятность: \[ P(\text{сумма больше 2 и меньше 7}) = \frac{14}{36} = \frac{7}{18} \]

Ответы

• а) Вероятность события «при одном из бросков выпало 5 очков»: \(\frac{11}{36}\).
• б) Вероятность события «в сумме выпало больше 2, но меньше 7 очков»: \(\frac{7}{18}\).