Игральную кость бросают дважды. Известно, что произведение выпавших очков чётно. Построй дерево этого случайного эксперимента. Найдите вероятность события: а) «при одном из бросков выпало 5 очков»; б) «в сумме выпало больше 2, но меньше 7 очков»

Чтобы решить эту задачу, начнем с построения дерева вероятностей для двух бросков игральной кости. Игральная кость имеет 6 граней, и на каждой грани выпадает число от 1 до 6. Когда мы бросаем кость дважды, каждый бросок может быть независимым событием. ### Шаг 1: Построение дерева вероятностей 1. **Первый бросок**: - Можно получить 1, 2, 3, 4, 5 или 6 (всего 6 вариантов). 2. **Второй бросок**: - После каждого результата первого броска, можно сделать второй бросок, получив опять 1, 2, 3, 4, 5 или 6 (всего 6 вариантов на каждом из 6 результатов первого броска). Общая возможная комбинация результатов двух бросков составляет \(6 \times 6 = 36\) исходов. Теперь нас интересует только те исходы, где произведение выпавших очков четное. Произведение двух чисел будет четным, если хотя бы одно из чисел даже. То есть, нас интересуют следующие исходы: - Если хотя бы один из бросков – это 2, 4 или 6. - В противном случае (если оба броска нечетные) произведение будет нечетным. #### Нечетные числа: 1, 3, 5 (всего 3 варианта) #### Четные числа: 2, 4, 6 (всего 3 варианта) Таким образом, комбинации, где оба броска нечётные: - (1, 1) - (1, 3) - (1, 5) - (3, 1) - (3, 3) - (3, 5) - (5, 1) - (5, 3) - (5, 5) Итак, всего 9 исходов имеют произведение, которое нечетное. Это означает, что из 36 исходов, 27 имеют четное произведение. ### Шаг 2: Найдите вероятность событий #### а) Вероятность события «при одном из бросков выпало 5 очков» Теперь посчитаем вероятность того, что хотя бы один из бросков равен 5. Для этого мы можем воспользоваться методом дополняющих событий: 1. Подсчитаем, сколько исходов не имеет 5: - Если первое число не 5, то второе может быть любым числом (1, 2, 3, 4, 6) — 5 исходов. - Если второе число не 5, то первое может быть 1, 2, 3, 4, 6 — ещё 5 вариантов. Таким образом, если ни один из результатов не равен 5, то для каждого из 6 исходов первого броска у нас остается 5 возможных исходов для второго броска, что в сумме дает 25 исходов. Итак, вероятность не получить 5 в любом броске: \[ P(\text{не 5}) = \frac{25}{36} \] Следовательно, вероятность получения хотя бы одного 5: \[ P(\text{хотя бы один 5}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \] #### б) Вероятность события «в сумме выпало больше 2, но меньше 7 очков» Теперь найдем все исходы, сумма которых больше 2, но меньше 7. Сумма больше 2: - Минимальная сумма – 3 (1 + 2). - Максимальная сумма, меньшая 7 – 6 (возможные комбинации: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)). Теперь перечислим подходящие комбинации, которые дают суммы от 3 до 6: - Сумма 3: (1, 2), (2, 1). - Сумма 4: (1, 3), (3, 1), (2, 2). - Сумма 5: (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2). - Сумма 6: (1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3). Итак, допустимые исходы: - Сумма 3: 2 исхода (1, 2), (2, 1) - Сумма 4: 3 исхода (1, 3), (3, 1), (2, 2) - Сумма 5: 4 исхода (1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) - Сумма 6: 5 исходов (1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3) Всего у нас 2 + 3 + 4 + 5 = 14 подходящих исходов. Теперь рассчитываем вероятность: \[ P(\text{сумма больше 2 и меньше 7}) = \frac{14}{36} = \frac{7}{18} \] ### Ответы - а) Вероятность события «при одном из бросков выпало 5 очков»: \(\frac{11}{36}\). - б) Вероятность события «в сумме выпало больше 2, но меньше 7 очков»: \(\frac{7}{18}\).