Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время t равна р = 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найдите вероятность…

Решение этой задачи можно провести с использованием биномиального распределения, поскольку узлы выходят из строя независимо друг от друга, и у нас есть фиксированное число испытаний (узлов), каждый из которых имеет одинаковую вероятность отказа.

Шаг 1: Определение параметров задачи

• n (количество узлов) = 10
• k (количество узлов, которые выходят из строя) = 4
• p (вероятность безотказной работы одного узла) = 0,8
• Соответственно, q (вероятность отказа узла) будет равна \( q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2 \).

Шаг 2: Формула биномиального распределения

Вероятность того, что из n испытаний k будут успешными (в нашем случае - узлы откажут), вычисляется по формуле биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^{n-k} \cdot q^k \]

где:

• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, равный \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
• \( p \) — вероятность успешного исхода (в нашем случае, работоспособность узла).
• \( q \) — вероятность неуспешного исхода (в нашем случае, отказ узла).

Шаг 3: Подстановка значений

Подставляем наши значения в формулу. Для \( C(10, 4) \):

\[ C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \]

Теперь подставим это значение в нашу формулу:

\[ P(X = 4) = C(10, 4) \cdot p^{n-k} \cdot q^k \] \[ P(X = 4) = 210 \cdot (0,8)^{10-4} \cdot (0,2)^4 \] \[ = 210 \cdot (0,8)^6 \cdot (0,2)^4 \] \[ = 210 \cdot (0,262144) \cdot (0,0016) \] \[ = 210 \cdot 0,0004194304 \] \[ = 0,088 \]

Шаг 4: Окончательный ответ

Таким образом, вероятность того, что за время t откажут 4 узла, составляет примерно 0,088 или 8,8%.

Если у вас остались вопросы или вам нужно более подробное объяснение какого-то шага, дайте знать!