Решение этой задачи можно провести с использованием биномиального распределения, поскольку узлы выходят из строя независимо друг от друга, и у нас есть фиксированное число испытаний (узлов), каждый из которых имеет одинаковую вероятность отказа.
Шаг 1: Определение параметров задачи
- n (количество узлов) = 10
- k (количество узлов, которые выходят из строя) = 4
- p (вероятность безотказной работы одного узла) = 0,8
- Соответственно, q (вероятность отказа узла) будет равна ( q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2 ).
Шаг 2: Формула биномиального распределения
Вероятность того, что из n испытаний k будут успешными (в нашем случае - узлы откажут), вычисляется по формуле биномиального распределения:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^{n-k} \cdot q^k
]
где:
- ( C(n, k) ) — биномиальный коэффициент, равный ( \frac{n!}{k!(n-k)!} ).
- ( p ) — вероятность успешного исхода (в нашем случае, работоспособность узла).
- ( q ) — вероятность неуспешного исхода (в нашем случае, отказ узла).
Шаг 3: Подстановка значений
Подставляем наши значения в формулу. Для ( C(10, 4) ):
[
C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210
]
Теперь подставим это значение в нашу формулу:
[
P(X = 4) = C(10, 4) \cdot p^{n-k} \cdot q^k
]
[
P(X = 4) = 210 \cdot (0,8)^{10-4} \cdot (0,2)^4
]
[
= 210 \cdot (0,8)^6 \cdot (0,2)^4
]
[
= 210 \cdot (0,262144) \cdot (0,0016)
]
[
= 210 \cdot 0,0004194304
]
[
= 0,088
]
Шаг 4: Окончательный ответ
Таким образом, вероятность того, что за время t откажут 4 узла, составляет примерно 0,088 или 8,8%.
Если у вас остались вопросы или вам нужно более подробное объяснение какого-то шага, дайте знать!
