Чтобы решить эту задачу, воспользуемся формулой для периода колебаний простого маятника. Период ( T ) маятника зависит от длины ( L ) и ускорения свободного падения ( g ), и задаётся формулой:
[
T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}
]
Где:
- ( T ) — период колебания (время одного полного колебания),
- ( L ) — длина маятника,
- ( g ) — ускорение свободного падения.
Сначала определим период для каждого из маятников. Поскольку мы знаем, сколько колебаний они совершают за одно и то же время, можем записать соотношения.
Обозначим длины маятников как ( L_1 ) и ( L_2 ). По условию задачи, первый маятник совершает 50 колебаний, а второй — 80 колебаний за одно и то же время ( T_{1} = T_{2} ).
Поскольку период — это время, необходимое для одного колебания, мы можем записать:
Для первого маятника:
[
T_1 = \frac{T}{50}
]
Для второго маятника:
[
T_2 = \frac{T}{80}
]
Равенство периодов можно записать как:
[
\frac{T}{50} = \frac{T}{80}
]
Поделив обе стороны на ( T ) (предполагая, что ( T ) не равно нулю), получаем:
[
\frac{1}{50} = \frac{1}{80}
]
Теперь воспользуемся формулой для периодов, где ( T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} ):
Мы знаем, что:
[
T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{L_1}{g}} \quad \text{и} \quad T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{L_2}{g}}
]
С равенства периодов следует:
[
\frac{2\pi \sqrt{L_1}}{50} = \frac{2\pi \sqrt{L_2}}{80}
]
Сокращаем ( 2\pi ) (при ( 2\pi \neq 0 )):
[
\frac{\sqrt{L_1}}{50} = \frac{\sqrt{L_2}}{80}
]
Перепишем это уравнение, умножив обе стороны на ( 50 \times 80 ):
[
80\sqrt{L_1} = 50\sqrt{L_2}
]
Теперь возведём обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:
[
6400 L_1 = 2500 L_2
]
Теперь можем найти соотношение ( \frac{L_1}{L_2} ):
[
\frac{L_1}{L_2} = \frac{2500}{6400} = \frac{25}{64}
]
Таким образом, соотношение длины первого маятника к длине второго равно ( \frac{25}{64} ).
