Для решения задачи о средней плотности тела, состоящего из двух частей с одинаковыми массами, мы будем использовать формулу для средней плотности, которая учитывает массы и объемы частиц.
Шаг 1: Понимание плотности
Плотность (ρ) — это отношение массы (m) к объему (V):
[
ρ = \frac{m}{V}
]
Таким образом, объем можно выразить через плотность и массу:
[
V = \frac{m}{ρ}
]
Шаг 2: Определение масс и объемов частей
Пусть масса каждой части равна ( m ).
Для первой части с плотностью 3 г/см³:
[
V_1 = \frac{m}{ρ_1} = \frac{m}{3}
]
Для второй части с плотностью 5 г/см³:
[
V_2 = \frac{m}{ρ_2} = \frac{m}{5}
]
Шаг 3: Найдем общий объём
Теперь найдем общий объем тела:
[
V_{\text{total}} = V_1 + V_2 = \frac{m}{3} + \frac{m}{5}
]
Чтобы сложить эти дроби, найдём общий знаменатель. Общий знаменатель для 3 и 5 — это 15:
[
V_{\text{total}} = \frac{5m}{15} + \frac{3m}{15} = \frac{5m + 3m}{15} = \frac{8m}{15}
]
Шаг 4: Найдём среднюю плотность
Теперь мы можем вычислить среднюю плотность ( ρ_{\text{avg}} ) всего тела по формуле:
[
ρ_{\text{avg}} = \frac{m_{\text{total}}}{V_{\text{total}}}
]
Масса всего тела:
[
m_{\text{total}} = m + m = 2m
]
Теперь подставим значения:
[
ρ_{\text{avg}} = \frac{2m}{\frac{8m}{15}} = 2m \cdot \frac{15}{8m} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4}
]
Шаг 5: Подсчёт и итог
Теперь преобразуем (\frac{15}{4}) в десятичную дробь:
[
\frac{15}{4} = 3.75
]
Таким образом, средняя плотность всего тела составляет 3.75 г/см³.
