Известно, что число p простое, а число 13p+1 является точным кубом. Чему равно p

Пусть \( 13p + 1 = n^3 \), где \( n \) — натуральное число. Перепишем это уравнение:

\[ 13p = n^3 - 1 \] \[ p = \frac{n^3 - 1}{13} \]

Поскольку \( p \) — простое число, \( n^3 - 1 \) должно быть делимо на 13. Заметим, что \( n^3 - 1 \) можно разложить по формуле разности кубов:

\[ n^3 - 1 = (n - 1)(n^2 + n + 1) \]

Поскольку \( p \) — простое число, \( \frac{(n - 1)(n^2 + n + 1)}{13} \) должно равняться простому числу. Теперь рассмотрим, когда \( n^3 - 1 \) делится на 13. Разделим возможные значения \( n \) по модулю 13.

Проверяем значения \( n \) от 0 до 12:

• \( n = 0: n^3 - 1 \equiv -1 \not\equiv 0 \mod 13 \)
• \( n = 1: n^3 - 1 \equiv 0 \not\equiv 0 \mod 13 \)
• \( n = 2: n^3 - 1 \equiv 7 \not\equiv 0 \mod 13 \)
• \( n = 3: n^3 - 1 \equiv 26 \equiv 0 \mod 13 \)
• \( n = 4: n^3 - 1 \equiv 63 \equiv 11 \not\equiv 0 \mod 13 \)
• \( n = 5: n^3 - 1 \equiv 124 \equiv 8 \not\equiv 0 \mod 13 \)
• \( n = 6: n^3 - 1 \equiv 215 \equiv 7 \not\equiv 0 \mod 13 \)
• \( n = 7: n^3 - 1 \equiv 342 \equiv 5 \not\equiv 0 \mod 13 \)
• \( n = 8: n^3 - 1 \equiv 511 \equiv 3 \not\equiv 0 \mod 13 \)
• \( n = 9: n^3 - 1 \equiv 728 \equiv 1 \not\equiv 0 \mod 13 \)
• \( n = 10: n^3 - 1 \equiv 999 \equiv 12 \not\equiv 0 \mod 13 \)
• \( n = 11: n^3 - 1 \equiv 1330 \equiv 10 \not\equiv 0 \mod 13 \)
• \( n = 12: n^3 - 1 \equiv 1727 \equiv 8 \not\equiv 0 \mod 13 \)

Таким образом, единственные возможные значения \( n \), при которых \( n^3 - 1 \) делится на 13, это \( n = 1 \) и \( n = 3 \).

Теперь рассмотрим эти два случая:

1. Для \( n = 1 \): \[ p = \frac{1^3 - 1}{13} = \frac{0}{13} = 0 \quad (не простое) \]

2. Для \( n = 3 \): \[ p = \frac{3^3 - 1}{13} = \frac{27 - 1}{13} = \frac{26}{13} = 2 \quad (простое) \]

Таким образом, мы нашли, что единственное простое число \( p \), удовлетворяющее условию, равно \( 2 \).

Ответ: \( p = 2 \).