в прямоугольном треугольнике один из катетов больше другого на 2. Гипотенуза равна 34. Найдите длину большего катета
Для решения задачи начнем с определения переменных и использования теоремы Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Обозначим:
- меньший катет — \( x \)
- больший катет — \( x + 2 \)
- гипотенуза — 34
Согласно теореме Пифагора, мы можем записать следующее уравнение:
\[ x^2 + (x + 2)^2 = 34^2 \]
Теперь развернем и упростим уравнение:
- Сначала найдем \( 34^2 \):
\[ 34^2 = 1156 \]
- Затем развернем \( (x + 2)^2 \):
\[ (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4 \]
- Подставим это в уравнение:
\[ x^2 + (x^2 + 4x + 4) = 1156 \]
Объединим подобные члены:
\[ 2x^2 + 4x + 4 = 1156 \]
- Теперь перенесем 1156 в левую часть уравнения, чтобы привести его к стандартному виду:
\[ 2x^2 + 4x + 4 - 1156 = 0 \]
Это упрощается до:
\[ 2x^2 + 4x - 1152 = 0 \]
- Упростим уравнение, разделив все его члены на 2:
\[ x^2 + 2x - 576 = 0 \]
Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить с помощью discriminant или по формуле Корнеева.
- Найдем дискриминант \( D \):
\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-576) \] \[ D = 4 + 2304 = 2308 \]
- Теперь можем найти \( x \) по формуле корней:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2308}}{2} \]
- Посчитаем значение \( \sqrt{2308} \):
\[ \sqrt{2308} \approx 48 \]
- Теперь подставим это обратно:
\[ x = \frac{-2 \pm 48}{2} \]
Решения будут:
\[ x_1 = \frac{46}{2} = 23 \quad (меньший \; катет) \] \[ x_2 = \frac{-50}{2} = -25 \quad (не имеет физического смысла) \]
Таким образом, меньший катет равен 23.
- Теперь найдем больший катет:
\[ x + 2 = 23 + 2 = 25 \]
Итак, длина большего катета составляет 25.
Ответ: Длина большего катета равна 25.
