Для решения задачи начнем с определения переменных и использования теоремы Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Обозначим:
- меньший катет — ( x )
- больший катет — ( x + 2 )
- гипотенуза — 34
Согласно теореме Пифагора, мы можем записать следующее уравнение:
[
x^2 + (x + 2)^2 = 34^2
]
Теперь развернем и упростим уравнение:
- Сначала найдем ( 34^2 ):
[
34^2 = 1156
]
- Затем развернем ( (x + 2)^2 ):
[
(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4
]
- Подставим это в уравнение:
[
x^2 + (x^2 + 4x + 4) = 1156
]
Объединим подобные члены:
[
2x^2 + 4x + 4 = 1156
]
- Теперь перенесем 1156 в левую часть уравнения, чтобы привести его к стандартному виду:
[
2x^2 + 4x + 4 - 1156 = 0
]
Это упрощается до:
[
2x^2 + 4x - 1152 = 0
]
- Упростим уравнение, разделив все его члены на 2:
[
x^2 + 2x - 576 = 0
]
Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить с помощью discriminant или по формуле Корнеева.
- Найдем дискриминант ( D ):
[
D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-576)
]
[
D = 4 + 2304 = 2308
]
- Теперь можем найти ( x ) по формуле корней:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2308}}{2}
]
- Посчитаем значение ( \sqrt{2308} ):
[
\sqrt{2308} \approx 48
]
- Теперь подставим это обратно:
[
x = \frac{-2 \pm 48}{2}
]
Решения будут:
[
x_1 = \frac{46}{2} = 23 \quad (меньший ; катет)
]
[
x_2 = \frac{-50}{2} = -25 \quad (не имеет физического смысла)
]
Таким образом, меньший катет равен 23.
- Теперь найдем больший катет:
[
x + 2 = 23 + 2 = 25
]
Итак, длина большего катета составляет 25.
Ответ: Длина большего катета равна 25.
