В прямоугольный треугольник вписана окружность. Найдите сумму катетов, если гипотенуза треугольника равна 26 см, а диаметр окружности равен 6 см.

Давайте разберем задачу пошагово.

Дано:

• Гипотенуза треугольника (c) = 26 см
• Диаметр окружности (d) = 6 см
• Радиус окружности (r) = d/2 = 6 см / 2 = 3 см

Необходимые Формулы

Для прямоугольного треугольника справедливы следующие соотношения:

1. Площадь треугольника можно выразить через его катеты (a и b): \[ S = \frac{1}{2}ab \]
2. Площадь треугольника можно также выразить через радиус вписанной окружности (r): \[ S = r \cdot p \] где \( p \) — полупериметр треугольника, который определяется как: \[ p = \frac{a + b + c}{2} \]

Поиск катетов

Используя вышеуказанные формулы, мы можем выразить полупериметр: \[ p = \frac{a + b + 26}{2} \]

Теперь подставим выражения для площади из обеих формул: \[ \frac{1}{2}ab = r \cdot p \] где \( r = 3 \) см. Это дает: \[ \frac{1}{2}ab = 3 \cdot \frac{a + b + 26}{2} \]

Умножим обе стороны на 2 для упрощения: \[ ab = 3(a + b + 26) \]

Теперь раскроем скобки: \[ ab = 3a + 3b + 78 \]

Преобразование уравнения

Переносим все в одну сторону: \[ ab - 3a - 3b - 78 = 0 \]

Преобразуем это уравнение в стандартную форму для решения через сумму и произведение корней. Мы можем выразить через катеты: \[ a \cdot b - 3(a + b) = 78 \]

Обозначим \( s = a + b \) (сумма катетов), \( p = ab \) (произведение катетов). Тогда мы можем сказать: \[ p - 3s = 78 \]

We также знаем из теоремы Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] где \( c = 26 \): \[ a^2 + b^2 = 26^2 = 676 \]

Подстановка

Используя формулы:

• \( s^2 = (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \), подставим значения: \[ s^2 = 676 + 2p \] Теперь подставим \( p \) из первого уравнения: \[ p = 3s + 78 \] В \( s^2 \) подставляем: \[ s^2 = 676 + 2(3s + 78) \] \[ s^2 = 676 + 6s + 156 \] \[ s^2 - 6s - 832 = 0 \]

Решение квадратного уравнения

Теперь решим это уравнение через дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-832) = 36 + 3328 = 3364 \] \[ s = \frac{-(-6) \pm \sqrt{3364}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 58}{2} \] Варианты:

1. \( s = \frac{64}{2} = 32 \)
2. \( s = \frac{-52}{2} \text{ (отсекаем, так как сумма катетов не может быть отрицательной)}\)

Ответ

Таким образом, сумма катетов \( a + b = s = 32 \) см.