Давайте разберем задачу пошагово.
Дано:
- Гипотенуза треугольника (c) = 26 см
- Диаметр окружности (d) = 6 см
- Радиус окружности (r) = d/2 = 6 см / 2 = 3 см
Необходимые Формулы
Для прямоугольного треугольника справедливы следующие соотношения:
- Площадь треугольника можно выразить через его катеты (a и b):
[
S = \frac{1}{2}ab
]
- Площадь треугольника можно также выразить через радиус вписанной окружности (r):
[
S = r \cdot p
]
где ( p ) — полупериметр треугольника, который определяется как:
[
p = \frac{a + b + c}{2}
]
Поиск катетов
Используя вышеуказанные формулы, мы можем выразить полупериметр:
[
p = \frac{a + b + 26}{2}
]
Теперь подставим выражения для площади из обеих формул:
[
\frac{1}{2}ab = r \cdot p
]
где ( r = 3 ) см. Это дает:
[
\frac{1}{2}ab = 3 \cdot \frac{a + b + 26}{2}
]
Умножим обе стороны на 2 для упрощения:
[
ab = 3(a + b + 26)
]
Теперь раскроем скобки:
[
ab = 3a + 3b + 78
]
Преобразование уравнения
Переносим все в одну сторону:
[
ab - 3a - 3b - 78 = 0
]
Преобразуем это уравнение в стандартную форму для решения через сумму и произведение корней. Мы можем выразить через катеты:
[
a \cdot b - 3(a + b) = 78
]
Обозначим ( s = a + b ) (сумма катетов), ( p = ab ) (произведение катетов). Тогда мы можем сказать:
[
p - 3s = 78
]
We также знаем из теоремы Пифагора:
[
a^2 + b^2 = c^2
]
где ( c = 26 ):
[
a^2 + b^2 = 26^2 = 676
]
Подстановка
Используя формулы:
- ( s^2 = (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab ), подставим значения:
[
s^2 = 676 + 2p
]
Теперь подставим ( p ) из первого уравнения:
[
p = 3s + 78
]
В ( s^2 ) подставляем:
[
s^2 = 676 + 2(3s + 78)
]
[
s^2 = 676 + 6s + 156
]
[
s^2 - 6s - 832 = 0
]
Решение квадратного уравнения
Теперь решим это уравнение через дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-832) = 36 + 3328 = 3364
]
[
s = \frac{-(-6) \pm \sqrt{3364}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 58}{2}
]
Варианты:
- ( s = \frac{64}{2} = 32 )
- ( s = \frac{-52}{2} \text{ (отсекаем, так как сумма катетов не может быть отрицательной)})
Ответ
Таким образом, сумма катетов ( a + b = s = 32 ) см.
