Чтобы построить график функции ( y = |x^2 + 3x + 2| ) и определить, при каких значениях ( b ) прямая ( y = b ) будет иметь наибольшее число общих точек с графиком функции, следуем пошагово.
Шаг 1: Найдем корни квадратного уравнения
Сначала рассмотрим выражение внутри модуля: ( x^2 + 3x + 2 ). Найдем его корни.
Для нахождения корней используем формулу для квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):
- ( a = 1 )
- ( b = 3 )
- ( c = 2 )
С помощью дискриминанта:
[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 ]
Поскольку дискриминант положителен, у нас два различных корня. Они находятся по формуле:
[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 1}{2} = -1 ]
[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 1}{2} = -2 ]
Шаг 2: Построим график
Теперь знаем, что ( x^2 + 3x + 2 ) = 0 при ( x = -1 ) и ( x = -2 ). Это означает, что парабола, описываемая функцией ( y = x^2 + 3x + 2 ), пересекает ось абсцисс в этих точках.
Так как у нас модуль, то:
- При ( x < -2 ) выражение ( x^2 + 3x + 2 > 0 ), поэтому ( y = x^2 + 3x + 2 ).
- При ( -2 < x < -1 ) выражение ( x^2 + 3x + 2 < 0 ), поэтому ( y = -(x^2 + 3x + 2) = -x^2 - 3x - 2 ).
- При ( x > -1 ) выражение ( x^2 + 3x + 2 > 0 ), поэтому ( y = x^2 + 3x + 2 ).
Шаг 3: Определим наибольшее число общих точек
График функции будет иметь форму:
- Ветви параболы положительные (открываются вверх) на интервалах ( (-\infty, -2) ) и ( (-1, +\infty) ).
- Ветви параболы отрицательные на интервале ( (-2, -1) ).
Теперь определим, при каких значениях ( b ) прямая ( y = b ) будет пересекаться с графиком функции.
- Если ( b < 0 ), прямая будет пересекаться с парabolой дважды: один раз на участке, где парабола положительная, и один раз на участке, где она отрицательная.
- Если ( b = 0 ), прямая пересекает график в двух точках (при ( x = -1 ) и ( x = -2 )).
- Если ( b > 0 ), прямая также может пересекаться с графиком в двух точках, поскольку парабола выходит за ось ( y ).
Вывод
Наибольшее возможное количество общих точек между графиком функции ( y = |x^2 + 3x + 2| ) и прямой ( y = b ) может составлять 2. Это происходит для значений ( b \leq 0 ) и ( b > 0 ).
Таким образом, для значения ( b = 0 ) прямая будет иметь 2 общие точки с графиком функции.
