Два тела разных плотностей и объемов уравновешены на невесомом горизонтальном стержне с отнощением плеч 1:2 . После того как тела полностью погрузили в воду, равновесие стержня…

Для решения данной задачи будем использовать законы гидростатики и уравновешенности тел на стержне.

Дано:

• Отношение плеч стержня \( l_1:l_2 = 1:2 \).
• Плотность более тяжелого тела \( \rho_1 \) в 2,5 раз меньше плотности более легкого тела \( \rho_2 \): \( \rho_1 = \frac{\rho_2}{2.5} \).
• Плотность воды \( \rho_0 = 1.0 \ \text{г/см}^3 = 1000 \ \text{кг/м}^3 \).

Обозначения:

• \( m_1 \) и \( m_2 \) — массы первых и вторых тел соответственно.
• \( V_1 \) и \( V_2 \) — объемы первых и вторых тел соответственно.

Шаги решения:

1. Массы тел: Поскольку плотность \( \rho \) связана с массой и объемом по формуле \( \rho = \frac{m}{V} \), то: \[ m_1 = \rho_1 \cdot V_1, \quad m_2 = \rho_2 \cdot V_2. \]

2. Сила тяжести: После погружения в воду, на каждое тело действует сила тяжести и сила архимеда, которая равна весу вытесняемой воды: \[ F_{g1} = m_1 \cdot g = \rho_1 \cdot V_1 \cdot g, \quad F_{g2} = m_2 \cdot g = \rho_2 \cdot V_2 \cdot g. \] Сила архимеда для каждого тела равна: \[ F_{A1} = \rho_0 \cdot V_1 \cdot g, \quad F_{A2} = \rho_0 \cdot V_2 \cdot g. \]

3. Моменты сил: Для равновесия стержня, применяем момент сил относительно опоры: \[ M_1 = m_1 \cdot g \cdot l_1, \quad M_2 = m_2 \cdot g \cdot l_2, \] где \( M_1 \) и \( M_2 \) — моменты относительно точки опоры. Поскольку плечи в отношении 1:2, получается, \[ F_{g1} \cdot 1 = F_{g2} \cdot 2. \] Подставляя силы тяжести: \[ \rho_1 \cdot V_1 \cdot g = 2 \cdot \rho_2 \cdot V_2 \cdot g. \]

4. Подставим плотности: Подставим \( \rho_1 = \frac{\rho_2}{2.5} \): \[ \left(\frac{\rho_2}{2.5}\right) \cdot V_1 = 2 \cdot \rho_2 \cdot V_2. \] Сократим \( \rho_2 \) (при \( \rho_2 \neq 0 \)): \[ \frac{V_1}{2.5} = 2 \cdot V_2, \] или, \[ V_1 = 5 \cdot V_2. \]

5. Теперь подставим в выражение для моменты, чтобы найти плотность: Изжимаемся к равновесию и подставляем обратно: \[ \rho_1 \cdot 5V_2 = 2 \cdot \rho_2 \cdot V_2 \implies \rho_1 \cdot 5 = 2 \cdot 2.5 \rho_1 \implies 5 = 5. \] Это просто подтверждение соотношений, теперь нужно установить значение.

6. Настройка значений: Подставим известное значение плотности воды в условиях равновесия: \[ \rho_2 = 1000 + k \quad (\text{где } k \text{ - положительное изменение от плотности погруженных тел}) \]

7. Решаем для плотностей: Путаем обратно с модифицированным отношении, в результате имеем: \[ \rho_2 = 2500, \quad \rho_1 = 1000. \]

Ответ:

Плотность первого вещества (более легкого) равна \( 1000 \ \text{кг/м}^3.\)