Чтобы решить поставленные задачи, давайте начнем с анализа каждой из них отдельно.
Задача 16.6
Условие: Диагональ осевого сечения цилиндра образует с высотой цилиндра угол α. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус шара, описанного около него, равен R.
Шаг 1: Понятие осевого сечения
Осевое сечение цилиндра — это сечение, проведенное через ось цилиндра. На этом сечении будет видно, что оно представляет собой прямоугольник, в котором:
- высота (h) равна высоте цилиндра,
- основание (d) равно диаметру основания цилиндра.
Шаг 2: Использование угла α
Согласно условиям, мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты и радиуса основания. Если диагональ осевого сечения формирует угол α с высотой, это означает, что:
[
\tan(\alpha) = \frac{r}{h}
]
где ( r ) — радиус основания, а ( h ) — высота цилиндра.
Шаг 3: Использование радиуса сферы
Радиус сферы, описанной около цилиндра, равен R. Существует связь между радиусом R сферы и радиусом основания r и высотой h цилиндра:
[
R = \sqrt{r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2}
]
Шаг 4: Решение системы уравнений
Теперь, используя эти два уравнения, выразим h через r:
Из первого уравнения:
[
h = \frac{r}{\tan(\alpha)}
]
Подставим в уравнение радиуса сферы R:
[
R = \sqrt{r^2 + \left(\frac{r}{2\tan(\alpha)}\right)^2}
]
Теперь упрощаем:
[
R = \sqrt{r^2 + \frac{r^2}{4\tan^2(\alpha)}}
]
[
R = r \sqrt{1 + \frac{1}{4\tan^2(\alpha)}}
]
Шаг 5: Площадь боковой поверхности
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:
[
S_{бок} = 2 \pi r h
]
Теперь, подставив ( h = \frac{r}{\tan(\alpha)} ):
[
S_{бок} = 2 \pi r \cdot \frac{r}{\tan(\alpha)} = \frac{2 \pi r^2}{\tan(\alpha)}
]
Задача 16.7
Условие: Радиус основания цилиндра равен r, а радиус шара, описанного около этого цилиндра, равен R. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Шаг 1: Связь между r, h и R
Аналогично предыдущей задаче, воспользуемся тем же уравнением радиуса:
[
R = \sqrt{r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2}
]
Шаг 2: Выразим h через R и r
Решаем уравнение относительно h:
[
R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2
]
[
\left(\frac{h}{2}\right)^2 = R^2 - r^2
]
[
h = 2\sqrt{R^2 - r^2}
]
Шаг 3: Площадь боковой поверхности
Теперь используем формулу для площади боковой поверхности:
[
S_{бок} = 2 \pi r h = 2 \pi r \cdot 2\sqrt{R^2 - r^2} = 4 \pi r \sqrt{R^2 - r^2}
]
Ответы:
Для задачи 16.6:
[
S_{бок} = \frac{2 \pi r^2}{\tan(\alpha)}
]
Для задачи 16.7:
[
S_{бок} = 4 \pi r \sqrt{R^2 - r^2}
]
Эти шаги помогут понять, как связаны радиус цилиндра, высота и угол, а также освоить метод вычисления площади боковой поверхности цилиндра.
