16.6. Диагональ осевого сечения цилиндра образует с высотой цилиндря угол о. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если ра диус шара, описанного около него, равен R. 16.7.…

Чтобы решить поставленные задачи, давайте начнем с анализа каждой из них отдельно.

Задача 16.6

Условие: Диагональ осевого сечения цилиндра образует с высотой цилиндра угол α. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус шара, описанного около него, равен R.

Шаг 1: Понятие осевого сечения

Осевое сечение цилиндра — это сечение, проведенное через ось цилиндра. На этом сечении будет видно, что оно представляет собой прямоугольник, в котором:

• высота (h) равна высоте цилиндра,
• основание (d) равно диаметру основания цилиндра.

Шаг 2: Использование угла α

Согласно условиям, мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты и радиуса основания. Если диагональ осевого сечения формирует угол α с высотой, это означает, что:

\[ \tan(\alpha) = \frac{r}{h} \]

где \( r \) — радиус основания, а \( h \) — высота цилиндра.

Шаг 3: Использование радиуса сферы

Радиус сферы, описанной около цилиндра, равен R. Существует связь между радиусом R сферы и радиусом основания r и высотой h цилиндра:

\[ R = \sqrt{r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2} \]

Шаг 4: Решение системы уравнений

Теперь, используя эти два уравнения, выразим h через r:

1. Из первого уравнения: \[ h = \frac{r}{\tan(\alpha)} \]

2. Подставим в уравнение радиуса сферы R: \[ R = \sqrt{r^2 + \left(\frac{r}{2\tan(\alpha)}\right)^2} \]

Теперь упрощаем: \[ R = \sqrt{r^2 + \frac{r^2}{4\tan^2(\alpha)}} \] \[ R = r \sqrt{1 + \frac{1}{4\tan^2(\alpha)}} \]

Шаг 5: Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле: \[ S_{бок} = 2 \pi r h \]

Теперь, подставив \( h = \frac{r}{\tan(\alpha)} \): \[ S_{бок} = 2 \pi r \cdot \frac{r}{\tan(\alpha)} = \frac{2 \pi r^2}{\tan(\alpha)} \]

Задача 16.7

Условие: Радиус основания цилиндра равен r, а радиус шара, описанного около этого цилиндра, равен R. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Шаг 1: Связь между r, h и R

Аналогично предыдущей задаче, воспользуемся тем же уравнением радиуса:

\[ R = \sqrt{r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2} \]

Шаг 2: Выразим h через R и r

Решаем уравнение относительно h: \[ R^2 = r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 \] \[ \left(\frac{h}{2}\right)^2 = R^2 - r^2 \] \[ h = 2\sqrt{R^2 - r^2} \]

Шаг 3: Площадь боковой поверхности

Теперь используем формулу для площади боковой поверхности: \[ S_{бок} = 2 \pi r h = 2 \pi r \cdot 2\sqrt{R^2 - r^2} = 4 \pi r \sqrt{R^2 - r^2} \]

Ответы:

1. Для задачи 16.6: \[ S_{бок} = \frac{2 \pi r^2}{\tan(\alpha)} \]

2. Для задачи 16.7: \[ S_{бок} = 4 \pi r \sqrt{R^2 - r^2} \]

Эти шаги помогут понять, как связаны радиус цилиндра, высота и угол, а также освоить метод вычисления площади боковой поверхности цилиндра.