Бабушка в честь приезда внуков напекла пирожки их количество равно 22 штуки из которых с повидлом шесть штук х количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных найдите дисперсию случайной величины x при расчётах ответы округляя до сотых

Для решения задачи о дисперсии случайной величины \( x \), которая представляет собой количество пирожков с повидлом, мы можем использовать метод комбинаторики и теории вероятностей. ### Шаг 1: Определение случайной величины \( x \) и общей информации У нас есть всего 22 пирожка, из которых 6 с повидлом. То есть количество пирожков без повидла будет \( 22 - 6 = 16 \). ### Шаг 2: Найдем вероятность выбрать пирожок с повидлом При случайном выборе двух пирожков, мы можем выделить несколько случаев: 1. Оба пирожка с повидлом 2. Один пирожок с повидлом и один без 3. Оба пирожка без повидла Задача требует нас найти вероятность события, когда мы выбираем пирожки с повидлом. ### Шаг 3: Подсчет вероятностей 1. Вероятность выбрать 2 пирожка с повидлом \[ P(X = 2) = \frac{\binom{6}{2}}{\binom{22}{2}} = \frac{\frac{6 \cdot 5}{2}}{\frac{22 \cdot 21}{2}} = \frac{15}{231} = \frac{5}{77} \] 2. Вероятность выбрать 1 пирожок с повидлом и 1 без \[ P(X = 1) = \frac{\binom{6}{1} \cdot \binom{16}{1}}{\binom{22}{2}} = \frac{6 \cdot 16}{231} = \frac{96}{231} = \frac{32}{77} \] 3. Вероятность выбрать 0 пирожков с повидлом \[ P(X = 0) = \frac{\binom{16}{2}}{\binom{22}{2}} = \frac{16 \cdot 15 / 2}{231} = \frac{120}{231} = \frac{40}{77} \] ### Шаг 4: Вероятностное распределение Итак, у нас есть следующее распределение вероятностей: - \( P(X = 0) = \frac{40}{77} \) - \( P(X = 1) = \frac{32}{77} \) - \( P(X = 2) = \frac{5}{77} \) ### Шаг 5: Вычисление математического ожидания \( E(X) \) Математическое ожидание \( E(X) \) можно вычислить так: \[ E(X) = \sum x \cdot P(X = x) = 0 \cdot P(X = 0) + 1 \cdot P(X = 1) + 2 \cdot P(X = 2) \] \[ E(X) = 0 \cdot \frac{40}{77} + 1 \cdot \frac{32}{77} + 2 \cdot \frac{5}{77} = \frac{32 + 10}{77} = \frac{42}{77} \approx 0.545 \] ### Шаг 6: Вычисление дисперсии \( D(X) \) Дисперсию \( D(X) \) можно найти по формуле: \[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \] Сначала найдем \( E(X^2) \): \[ E(X^2) = 0^2 \cdot P(X = 0) + 1^2 \cdot P(X = 1) + 2^2 \cdot P(X = 2) \] \[ E(X^2) = 0 \cdot \frac{40}{77} + 1 \cdot \frac{32}{77} + 4 \cdot \frac{5}{77} = \frac{32 + 20}{77} = \frac{52}{77} \] Теперь подставим всё в формулу дисперсии: \[ D(X) = \frac{52}{77} - \left(\frac{42}{77}\right)^2 \] Сначала вычислим \( \left(\frac{42}{77}\right)^2 \): \[ \left(\frac{42}{77}\right)^2 = \frac{1764}{5929} \] Теперь подставим в формулу дисперсии: \[ D(X) = \frac{52}{77} - \frac{1764}{5929} = \frac{52 \cdot 77}{5929} - \frac{1764}{5929} = \frac{4004 - 1764}{5929} = \frac{2240}{5929} \] ### Шаг 7: Округление до сотых Теперь округлим результат: \[ D(X) \approx 0.3784 \] Итак, окончательный ответ: \[ \text{Дисперсия } D(X) \approx 0.38 \] Таким образом, дисперсия случайной величины \( x \), представляющей количество пирожков с повидлом среди двух случайно выбранных, равна 0.38.