Реши

Чтобы решить эту задачу, давайте пройдемся по шагам:

1. Определим необходимые элементы задачи:

   • Точки \( P \) и \( Q \) лежат на стороне \( MK \) треугольника \( MNK \).
   • Расстояния \( MP = 11 \) и \( MQ = 22 \).
   • Угол \( \angle NMK \), \( \cos \angle NMK = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

2. Найдем угол \(\angle NMK\):

   • Если \(\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}\), то \(\theta = 45^\circ\).

3. Построение окружности через точки \( P \) и \( Q \) и касающейся \( MN \):

   • Центр окружности должен быть на равном расстоянии от \( P \) и \( Q \).
   • Следовательно, центр окружности \( O \) находится на середине отрезка \( PQ \).

4. Найдем длину отрезка \( PQ \):

   • \( PQ = MQ - MP = 22 - 11 = 11 \).

5. Найдем позицию точки \( O \):

   • Точка \( O \) будет находиться на расстоянии \( \frac{PQ}{2} = \frac{11}{2} = 5.5 \) от обоих концов \( P \) и \( Q \).

6. Рассчитаем радиус окружности:

   • Если окружность касается \( MN \), то радиус \( r \) будет равен расстоянию от \( O \) до линии \( MN \).
   • \(\angle NMK = 45^\circ\), следовательно, радиус можно посчитать как \( r = \frac{PQ}{2 \cdot \cos \theta} = \frac{5.5}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5.5\sqrt{2}}{2}\).

7. Рассчитаем окончательное значение:

   • Нам нужно предоставить результат, делённый на \(\sqrt{2}\): \[ \frac{\frac{5.5\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{5.5}{2} = 2.75 \]

Итак, ответ на задачу: 2.75.