Чтобы решить эту задачу, воспользуемся неравенством Чебышева, которое позволяет оценить вероятность того, что случайная величина находится в заданном интервале.
Исходные данные задачи:
- Среднее значение (математическое ожидание) ( \mu = 120,000 ) руб.
- Среднее квадратическое отклонение ( \sigma = 8,000 ) руб.
1. Определяем интервал
Мы хотите узнать вероятность того, что выручка магазина будет в пределах от 105,000 руб. до 135,000 руб.
2. Находим отклонения от среднего
Теперь найдем, насколько отклоняются границы интервала от среднего значения:
- Левый предел:
[
105,000 - 120,000 = -15,000
]
- Правый предел:
[
135,000 - 120,000 = 15,000
]
3. Рассчитываем количество стандартных отклонений
Теперь преобразуем эти отклонения в стандартные отклонения. Вычисляем, сколько стандартных отклонений ( \sigma ) входит в эти отклонения:
- Для левого предела:
[
-15,000 / 8,000 = -1.875
]
- Для правого предела:
[
15,000 / 8,000 = 1.875
]
4. Применяем неравенство Чебышева
Неравенство Чебышева gласит, что для любой случайной величины со средним ( \mu ) и стандартным отклонением ( \sigma ) вероятность того, что значение случайной величины отклоняется от среднего значения более чем на ( k ) стандартных отклонений, не превышает ( \frac{1}{k^2} ).
Здесь, ( k = 1.875 ).
Сначала узнаем вероятность того, что случайная величина отклонится более чем на ( k ) стандартных отклонений:
[
P(|X - \mu| \geq k \sigma) \leq \frac{1}{k^2} = \frac{1}{(1.875)^2}
]
Вычисляем ( (1.875)^2 ):
[
(1.875)^2 = 3.515625
]
Теперь подставим в неравенство:
[
P(|X - 120,000| \geq 15,000) \leq \frac{1}{3.515625} \approx 0.2846
]
5. Вероятность нахождения в интервале
Теперь находим вероятность того, что случайная величина окажется в пределах от 105,000 до 135,000:
[
P(105,000 \leq X \leq 135,000) \geq 1 - P(|X - 120,000| \geq 15,000) \geq 1 - 0.2846 \approx 0.7154
]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что выручка магазина за день будет в пределах от 105,000 руб. до 135,000 руб. составляет примерно ( 71.54% ).
