Выручка магазина электроники бытовой техники за день является величиной случайно распределённой по нормальному закону среднее значение 120.000 руб а средняя квадратическое…

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся неравенством Чебышева, которое позволяет оценить вероятность того, что случайная величина находится в заданном интервале.

Исходные данные задачи:

• Среднее значение (математическое ожидание) \( \mu = 120,000 \) руб.
• Среднее квадратическое отклонение \( \sigma = 8,000 \) руб.

1. Определяем интервал

Мы хотите узнать вероятность того, что выручка магазина будет в пределах от 105,000 руб. до 135,000 руб.

2. Находим отклонения от среднего

Теперь найдем, насколько отклоняются границы интервала от среднего значения:

• Левый предел: \[ 105,000 - 120,000 = -15,000 \]
• Правый предел: \[ 135,000 - 120,000 = 15,000 \]

3. Рассчитываем количество стандартных отклонений

Теперь преобразуем эти отклонения в стандартные отклонения. Вычисляем, сколько стандартных отклонений \( \sigma \) входит в эти отклонения:

• Для левого предела: \[ -15,000 / 8,000 = -1.875 \]
• Для правого предела: \[ 15,000 / 8,000 = 1.875 \]

4. Применяем неравенство Чебышева

Неравенство Чебышева gласит, что для любой случайной величины со средним \( \mu \) и стандартным отклонением \( \sigma \) вероятность того, что значение случайной величины отклоняется от среднего значения более чем на \( k \) стандартных отклонений, не превышает \( \frac{1}{k^2} \).

Здесь, \( k = 1.875 \).

Сначала узнаем вероятность того, что случайная величина отклонится более чем на \( k \) стандартных отклонений: \[ P(|X - \mu| \geq k \sigma) \leq \frac{1}{k^2} = \frac{1}{(1.875)^2} \]

Вычисляем \( (1.875)^2 \): \[ (1.875)^2 = 3.515625 \]

Теперь подставим в неравенство: \[ P(|X - 120,000| \geq 15,000) \leq \frac{1}{3.515625} \approx 0.2846 \]

5. Вероятность нахождения в интервале

Теперь находим вероятность того, что случайная величина окажется в пределах от 105,000 до 135,000: \[ P(105,000 \leq X \leq 135,000) \geq 1 - P(|X - 120,000| \geq 15,000) \geq 1 - 0.2846 \approx 0.7154 \]

Ответ

Таким образом, вероятность того, что выручка магазина за день будет в пределах от 105,000 руб. до 135,000 руб. составляет примерно \( 71.54\% \).