Проведёно 900 испытаний бернули 0,7 составила вероятность успешного испытания оцени вероятность того что в проведеных испытаниях разница между числом успеха и средним числом…

Чтобы решить задачу о вероятности разницы между числом успехов в 900 испытаниях Бернулли и средним числом успехов, давайте разберем её пошагово.

Шаг 1: Определяем вероятность успеха и количество испытаний

• Вероятность успеха в каждом испытании \( p = 0.7 \).
• Общее количество испытаний \( n = 900 \).

Шаг 2: Находим среднее число успешных испытаний

Среднее число успехов \( \mu \) в испытаниях можно рассчитать по формуле: \[ \mu = n \cdot p = 900 \cdot 0.7 = 630. \]

Шаг 3: Находим стандартное отклонение

Для биномиального распределения стандартное отклонение \( \sigma \) вычисляется по формуле: \[ \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}. \] Подставим наши значения: \[ \sigma = \sqrt{900 \cdot 0.7 \cdot 0.3} \approx \sqrt{189} \approx 13.75. \]

Шаг 4: Условия задачи

Нам нужно оценить вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом успехов составляет меньше 70. То есть, ищем вероятность: \[ |X - 630| < 70. \]

Шаг 5: Записываем неравенство

Это условие можно записать как: \[ 560 < X < 700, \] где \( X \) — количество успехов.

Шаг 6: Применяем нормальное приближение

Поскольку \( n \) велико, можно воспользоваться нормальным распределением для приближенных вычислений: \[ X \sim N(\mu, \sigma^2). \] Тогда, чтобы использовать стандартное нормальное распределение, найдем Z-значения: \[ Z_1 = \frac{560 - 630}{\sigma} = \frac{-70}{13.75} \approx -5.09, \] \[ Z_2 = \frac{700 - 630}{\sigma} = \frac{70}{13.75} \approx 5.09. \]

Шаг 7: Находим вероятность

Воспользуемся таблицей стандартного нормального распределения:

• Вероятность для \( Z_1 \approx -5.09 \) и \( Z_2 \approx 5.09 \) практически равна 0, поскольку значение Z так далеко от среднего.

Заключение

Таким образом, вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом успехов составляет менее 70, будет близкой к 1 (или 100%), поскольку \( P(Z < 5.09) \) и \( P(Z > -5.09) \) обоих равны почти 1.

Эта задача демонстрирует применение нормального приближения к биномиальному распределению и позволяет делать выводы о вероятностях в рамках больших выборок.