Чтобы решить задачу о вероятности разницы между числом успехов в 900 испытаниях Бернулли и средним числом успехов, давайте разберем её пошагово.
Шаг 1: Определяем вероятность успеха и количество испытаний
- Вероятность успеха в каждом испытании ( p = 0.7 ).
- Общее количество испытаний ( n = 900 ).
Шаг 2: Находим среднее число успешных испытаний
Среднее число успехов ( \mu ) в испытаниях можно рассчитать по формуле:
[
\mu = n \cdot p = 900 \cdot 0.7 = 630.
]
Шаг 3: Находим стандартное отклонение
Для биномиального распределения стандартное отклонение ( \sigma ) вычисляется по формуле:
[
\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}.
]
Подставим наши значения:
[
\sigma = \sqrt{900 \cdot 0.7 \cdot 0.3} \approx \sqrt{189} \approx 13.75.
]
Шаг 4: Условия задачи
Нам нужно оценить вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом успехов составляет меньше 70.
То есть, ищем вероятность:
[
|X - 630| < 70.
]
Шаг 5: Записываем неравенство
Это условие можно записать как:
[
560 < X < 700,
]
где ( X ) — количество успехов.
Шаг 6: Применяем нормальное приближение
Поскольку ( n ) велико, можно воспользоваться нормальным распределением для приближенных вычислений:
[
X \sim N(\mu, \sigma^2).
]
Тогда, чтобы использовать стандартное нормальное распределение, найдем Z-значения:
[
Z_1 = \frac{560 - 630}{\sigma} = \frac{-70}{13.75} \approx -5.09,
]
[
Z_2 = \frac{700 - 630}{\sigma} = \frac{70}{13.75} \approx 5.09.
]
Шаг 7: Находим вероятность
Воспользуемся таблицей стандартного нормального распределения:
- Вероятность для ( Z_1 \approx -5.09 ) и ( Z_2 \approx 5.09 ) практически равна 0, поскольку значение Z так далеко от среднего.
Заключение
Таким образом, вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом успехов составляет менее 70, будет близкой к 1 (или 100%), поскольку ( P(Z < 5.09) ) и ( P(Z > -5.09) ) обоих равны почти 1.
Эта задача демонстрирует применение нормального приближения к биномиальному распределению и позволяет делать выводы о вероятностях в рамках больших выборок.
