Диспетчер скорой помощи за час приняла 310 звонков. Определи вероятность того, что в течение следующего часа число звонков превысит 465.

Для решения данной задачи мы будем использовать закон распределения Пуассона, который применяется для моделирования количества событий, происходящих в фиксированном интервале времени, при условии, что эти события происходят с постоянной средней скоростью.

Шаг 1: Определить параметры распределения

В данной задаче нам дано, что за час диспетчер скорой помощи принял 310 звонков. Это значение мы будем использовать как среднее значение (λ) для распределения Пуассона:

\[ \lambda = 310 \]

Шаг 2: Построить распределение Пуассона

Вероятность того, что произойдет k событий (в нашем случае, звонков) за время t, задается формулой:

\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \]

где:

• \(e\) — это основание натурального логарифма (примерно равное 2.71828),
• \(k\) — количество звонков,
• \(\lambda\) — среднее количество звонков (310).

Шаг 3: Определить вероятность превышения заданного количества звонков

Мы ищем вероятность того, что количество звонков превысит 465, то есть:

\[ P(X > 465) = 1 - P(X \leq 465) \]

Значение \(P(X \leq 465)\) можно найти с помощью накопленной функции распределения Пуассона, однако для больших значений λ (как в нашем случае) значительно проще использовать апроксимацию нормальным распределением.

Шаг 4: Нормальное распределение

Поскольку λ большое, то с помощью центральной предельной теоремы мы можем аппроксимировать распределение Пуассона нормальным:

\[ X \sim N(\mu, \sigma^2) \]

где:

• \(\mu = \lambda = 310\),
• \(\sigma^2 = \lambda = 310\), следовательно, стандартное отклонение будет:

\[ \sigma = \sqrt{310} \approx 17.5 \]

Шаг 5: Стандартизация

Теперь мы можем стандартизировать значение, используя z-значение:

\[ z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{465 - 310}{17.5} \approx 8.857 \]

Шаг 6: Получение вероятности

Теперь мы ищем вероятность того, что z-значение больше найденного:

\[ P(Z > 8.857) \]

Так как z-значение намного больше стандартного диапазона (обычно от -3 до 3 для нормального распределения), вероятность того, что z будет больше 8.857, практически равна 0.

Заключение

Таким образом, вероятность того, что в течение следующего часа число звонков превысит 465, крайне мала и на практике можно считать, что она равна 0.