Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии (bn) , в которой b4-b2=18, b5 -b3 = 36 . В ответе запишите шестой член этой прогрессии.
Для решения задачи начнем с обозначения первого члена геометрической прогрессии как \( b_1 = a \), а знаменателя как \( q \). Тогда члены прогрессии будут выглядеть следующим образом:
- \( b_2 = aq \)
- \( b_3 = aq^2 \)
- \( b_4 = aq^3 \)
- \( b_5 = aq^4 \)
Даны два уравнения:
- \( b_4 - b_2 = 18 \)
- \( b_5 - b_3 = 36 \)
Подставим выражения для членов прогрессии в уравнения:
\( aq^3 - aq = 18 \) \[ a(q^3 - q) = 18 \] \[ a(q(q^2 - 1)) = 18 \quad (1) \]
\( aq^4 - aq^2 = 36 \) \[ a(q^4 - q^2) = 36 \] \[ a(q^2(q^2 - 1)) = 36 \quad (2) \]
Теперь разделим уравнение (2) на уравнение (1):
\[ \frac{a(q^2(q^2 - 1))}{a(q(q^2 - 1))} = \frac{36}{18} \]
Упрощая, получим:
\[ \frac{q^2}{q} = 2 \] \[ q = 2 \]
Теперь подставим значение \( q \) обратно в одно из уравнений для нахождения \( a \). Используем уравнение (1):
\[ a(2(2^2 - 1)) = 18 \] \[ a(2 \cdot 3) = 18 \] \[ 6a = 18 \] \[ a = 3 \]
Таким образом:
- Первый член \( a = 3 \)
- Знаменатель \( q = 2 \)
Теперь найдем шестой член геометрической прогрессии \( b_6 \):
\[ b_6 = a q^5 = 3 \cdot 2^5 = 3 \cdot 32 = 96 \]
Ответ: \( b_6 = 96 \).
