(2sin²x+11sinx+5) * log15(-cosx)=0

Решим уравнение \((2\sin^2 x + 11\sin x + 5) \cdot \log_{15}(-\cos x) = 0\) по шагам.

Шаг 1: Анализ уравнения

Уравнение представляет собой произведение двух множителей. Условие равенства к нулю означает, что хотя бы один из множителей должен быть равен нулю.

Запишем это в виде:

1. \( 2\sin^2 x + 11\sin x + 5 = 0 \)
2. \( \log_{15}(-\cos x) = 0 \)

Шаг 2: Решаем первое уравнение

Рассмотрим первое уравнение: \[ 2\sin^2 x + 11\sin x + 5 = 0 \]

Это квадратное уравнение относительно \(\sin x\). Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 2\), \( b = 11\), \( c = 5 \): \[ D = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 121 - 40 = 81 \]

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня. Найдем корни используя формулу корней квадратного уравнения: \[ \sin x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ \sin x = \frac{-11 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 \pm 9}{4} \]

Теперь получим корни:

1. \( \sin x = \frac{-2}{4} = -0.5 \)
2. \( \sin x = \frac{-20}{4} = -5 \) (Этот корень не имеет смысла, ведь \(\sin x\) не может быть больше 1 или меньше -1)

Таким образом, единственный подходящий корень: \[ \sin x = -0.5 \]

Шаг 3: Находим \(x\) из \(\sin x = -0.5\)

Зная, что \(\sin x = -0.5\), корни находятся в следующих quadrants: \[ x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Шаг 4: Решаем второе уравнение

Теперь рассмотрим второе уравнение: \[ \log_{15}(-\cos x) = 0 \]

Это уравнение эквивалентно: \[ -\cos x = 15^0 \Rightarrow -\cos x = 1 \Rightarrow \cos x = -1 \]

Шаг 5: Находим \(x\) из \(\cos x = -1\)

Из уравнения \(\cos x = -1\) мы находим: \[ x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Заключение: Полный набор решений

Таким образом, общее решение исходного уравнения состоит из двух частей:

1. Все значения \(x\), при которых \(\sin x = -0.5\): \[ x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

2. Все значения \(x\), при которых \(\cos x = -1\): \[ x = \pi + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Эти два семейства решений составляют полное множество корней уравнения.