(2sin²x+11sinx+5) * log15(-cosx)=0

Решим уравнение \((2\sin^2 x + 11\sin x + 5) \cdot \log_{15}(-\cos x) = 0\) по шагам. ### Шаг 1: Анализ уравнения Уравнение представляет собой произведение двух множителей. Условие равенства к нулю означает, что хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Запишем это в виде: 1. \( 2\sin^2 x + 11\sin x + 5 = 0 \) 2. \( \log_{15}(-\cos x) = 0 \) ### Шаг 2: Решаем первое уравнение Рассмотрим первое уравнение: \[ 2\sin^2 x + 11\sin x + 5 = 0 \] Это квадратное уравнение относительно \(\sin x\). Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 2\), \( b = 11\), \( c = 5 \): \[ D = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 121 - 40 = 81 \] Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня. Найдем корни используя формулу корней квадратного уравнения: \[ \sin x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставим значения: \[ \sin x = \frac{-11 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 \pm 9}{4} \] Теперь получим корни: 1. \( \sin x = \frac{-2}{4} = -0.5 \) 2. \( \sin x = \frac{-20}{4} = -5 \) (Этот корень не имеет смысла, ведь \(\sin x\) не может быть больше 1 или меньше -1) Таким образом, единственный подходящий корень: \[ \sin x = -0.5 \] ### Шаг 3: Находим \(x\) из \(\sin x = -0.5\) Зная, что \(\sin x = -0.5\), корни находятся в следующих quadrants: \[ x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] ### Шаг 4: Решаем второе уравнение Теперь рассмотрим второе уравнение: \[ \log_{15}(-\cos x) = 0 \] Это уравнение эквивалентно: \[ -\cos x = 15^0 \Rightarrow -\cos x = 1 \Rightarrow \cos x = -1 \] ### Шаг 5: Находим \(x\) из \(\cos x = -1\) Из уравнения \(\cos x = -1\) мы находим: \[ x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] ### Заключение: Полный набор решений Таким образом, общее решение исходного уравнения состоит из двух частей: 1. Все значения \(x\), при которых \(\sin x = -0.5\): \[ x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] 2. Все значения \(x\), при которых \(\cos x = -1\): \[ x = \pi + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Эти два семейства решений составляют полное множество корней уравнения.