Стационарная точка-функция z равно икс в квадрате + игрек в квадрате имеет координаты.

Давайте разберем вашу задачу о стационарной точке для функции \( z = x^2 + y^2 \).

Прежде всего, давайте уточним, что такое стационарные точки функции. Стационарные точки — это точки, в которых производная функции равна нулю. Для функции нескольких переменных (в данном случае, двух переменных \( x \) и \( y \)) необходимо находить частные производные по каждой переменной и приравнивать их к нулю.

Шаг 1: Находим частные производные

Давайте найдем частные производные функции \( z = x^2 + y^2 \).

1. Частная производная по \( x \): \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 2x \]

2. Частная производная по \( y \): \[ \frac{\partial z}{\partial y} = 2y \]

Шаг 2: Приравниваем частные производные к нулю

Теперь мы приравняем каждую из частных производных к нулю и найдем координаты стационарных точек.

1. Приравниваем частную производную по \( x \): \[ 2x = 0 \implies x = 0 \]

2. Приравниваем частную производную по \( y \): \[ 2y = 0 \implies y = 0 \]

Шаг 3: Определяем координаты стационарной точки

Следовательно, стационарная точка, которую мы нашли, имеет координаты: \[ (x, y) = (0, 0) \]

Шаг 4: Проверка характера стационарной точки

Чтобы установить, является ли эта стационарная точка минимумом, максимумом или седловой точкой, можно использовать вторые производные. Для функции \( z \) у нас есть:

1. \( \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2 \)
2. \( \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 2 \)
3. \( \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0 \)

Теперь можем составить матрицу Гессе: \[ H = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\\ \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \]

Шаг 5: Определяем характер точки

Чтобы определить характер стационарной точки, вычислим определитель матрицы Гессе: \[ \text{det}(H) = (2)(2) - (0)(0) = 4 \] Определитель положительный и все основные миноры положительны, значит стационарная точка \( (0, 0) \) является минимумом функции.

Ответ

Стационарная точка функции \( z = x^2 + y^2 \) имеет координаты \( (0, 0) \) и представляет собой минимум.