Построй график функции { 2 x 2 + 6 x + 3 , x ⩾ − 2 x + 2 , x < − 2 { 2x 2 +6x+3,x⩾−2 x+2,x<−2 ​ и определи, при каких значениях m m прямая y = m y=m имеет с графиком ровно две…

Для решения данной задачи начнем с построения графика функции. Функция задана кусочно:

1. \( f(x) = 2x^2 + 6x + 3 \) для \( x \geq -2 \)
2. \( f(x) = -x + 2 \) для \( x < -2 \)

Шаг 1: Определение графика первой части функции

Первое уравнение: \( f(x) = 2x^2 + 6x + 3 \)

Это квадратная функция. Чтобы лучше её понять, найдем вершину параболы, а также её корни (если они есть).

Корни функции (находим при помощи дискриминанта):

\[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 36 - 24 = 12 \]

Так как \( D > 0 \), функция имеет два различных корня.

Корни уравнения:

\[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{3}}{2} \]

Корни примерно равны \( x_1 \approx -1.366 \) и \( x_2 \approx -0.634 \).

Вершина параболы:

Координаты вершины находятся по формуле \( x_v = -\frac{b}{2a} \):

\[ x_v = -\frac{6}{2 \cdot 2} = -\frac{3}{2} = -1.5 \]

Подставляя \( x_v \) в уравнение функции, получим \( y_v \):

\[ f\left(-\frac{3}{2}\right) = 2\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 6\left(-\frac{3}{2}\right) + 3 \] \[ = 2 \cdot \frac{9}{4} - 9 + 3 = \frac{9}{2} - 9 + 3 = \frac{9 - 18 + 6}{2} = \frac{-3}{2} \]

Вершина функции находится примерно в точке \( \left(-1.5, -1.5\right) \).

Шаг 2: Определение графика второй части функции

Второе уравнение: \( f(x) = -x + 2 \) для \( x < -2 \)

Это линейная функция с наклоном -1 и пересечением с осью y в точке (0, 2). При \( x = -2 \):

\[ f(-2) = -(-2) + 2 = 2 + 2 = 4 \]

Шаг 3: Найдем точки пересечения графиков

Верхняя часть функции \( 2x^2 + 6x + 3 \) пересекается с линией \( y = m \) (горизонтальной) в точках, которые мы позже рассчитаем.

Для ровно двух общих точек: Горизонтальная линия должна касаться параболы в одной точке и пересекать линейную функцию.

Мы ищем \( m \), когда у нас 1 касательное пересечение и 1 пересечение с линейной частью.

Условие касания для параболы:

Сначала определим условия касания для \( f(x) = 2x^2 + 6x + 3 \):

Чтобы \( y = m \) был касательной к \( 2x^2 + 6x + 3 \), дискриминант должен равняться нулю:

\[ 2x^2 + 6x + (3 - m) = 0 \Rightarrow D = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - m) = 0 \] \[ 36 - 8(3 - m) = 0 \] \[ 36 - 24 + 8m = 0 \Rightarrow 8m = -12 \Rightarrow m = -\frac{3}{2} \]

Это значение \( m \) является для касательной.

Условия для линейной части (пересечение):

Линейная функция \( y = -x + 2 \) равна \( m \):

\[ m = -x + 2 \Rightarrow x = 2 - m \]

Для касания параболы, подставляя \( m = -\frac{3}{2} \):

\[ x = 2 + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} + \frac{3}{2} = \frac{7}{2} \quad (некорректно, так как это x \geq -2) \]

Таким образом, мы можем установить, что для \( m = -\frac{3}{2} \) даёт одну общую точку, а для \( m \) больше -3 и меньше -1, мы получаем два различных пересечения.

Ответ:

Таким образом, итоговая область для \( m \):

\[ -3 < m < -\frac{3}{2} \]

Ответ: (-3; -1.5) (записать как -3(-1.5)).