Для решения данной задачи начнем с построения графика функции. Функция задана кусочно:
- ( f(x) = 2x^2 + 6x + 3 ) для ( x \geq -2 )
- ( f(x) = -x + 2 ) для ( x < -2 )
Шаг 1: Определение графика первой части функции
Первое уравнение: ( f(x) = 2x^2 + 6x + 3 )
Это квадратная функция. Чтобы лучше её понять, найдем вершину параболы, а также её корни (если они есть).
Корни функции (находим при помощи дискриминанта):
[
D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 36 - 24 = 12
]
Так как ( D > 0 ), функция имеет два различных корня.
Корни уравнения:
[
x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{3}}{2}
]
Корни примерно равны ( x_1 \approx -1.366 ) и ( x_2 \approx -0.634 ).
Вершина параболы:
Координаты вершины находятся по формуле ( x_v = -\frac{b}{2a} ):
[
x_v = -\frac{6}{2 \cdot 2} = -\frac{3}{2} = -1.5
]
Подставляя ( x_v ) в уравнение функции, получим ( y_v ):
[
f\left(-\frac{3}{2}\right) = 2\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 6\left(-\frac{3}{2}\right) + 3
]
[
= 2 \cdot \frac{9}{4} - 9 + 3 = \frac{9}{2} - 9 + 3 = \frac{9 - 18 + 6}{2} = \frac{-3}{2}
]
Вершина функции находится примерно в точке ( \left(-1.5, -1.5\right) ).
Шаг 2: Определение графика второй части функции
Второе уравнение: ( f(x) = -x + 2 ) для ( x < -2 )
Это линейная функция с наклоном -1 и пересечением с осью y в точке (0, 2). При ( x = -2 ):
[
f(-2) = -(-2) + 2 = 2 + 2 = 4
]
Шаг 3: Найдем точки пересечения графиков
Верхняя часть функции ( 2x^2 + 6x + 3 ) пересекается с линией ( y = m ) (горизонтальной) в точках, которые мы позже рассчитаем.
Для ровно двух общих точек:
Горизонтальная линия должна касаться параболы в одной точке и пересекать линейную функцию.
Мы ищем ( m ), когда у нас 1 касательное пересечение и 1 пересечение с линейной частью.
Условие касания для параболы:
Сначала определим условия касания для ( f(x) = 2x^2 + 6x + 3 ):
Чтобы ( y = m ) был касательной к ( 2x^2 + 6x + 3 ), дискриминант должен равняться нулю:
[
2x^2 + 6x + (3 - m) = 0 \Rightarrow D = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - m) = 0
]
[
36 - 8(3 - m) = 0
]
[
36 - 24 + 8m = 0 \Rightarrow 8m = -12 \Rightarrow m = -\frac{3}{2}
]
Это значение ( m ) является для касательной.
Условия для линейной части (пересечение):
Линейная функция ( y = -x + 2 ) равна ( m ):
[
m = -x + 2 \Rightarrow x = 2 - m
]
Для касания параболы, подставляя ( m = -\frac{3}{2} ):
[
x = 2 + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} + \frac{3}{2} = \frac{7}{2} \quad (некорректно, так как это x \geq -2)
]
Таким образом, мы можем установить, что для ( m = -\frac{3}{2} ) даёт одну общую точку, а для ( m ) больше -3 и меньше -1, мы получаем два различных пересечения.
Ответ:
Таким образом, итоговая область для ( m ):
[
-3 < m < -\frac{3}{2}
]
Ответ: (-3; -1.5) (записать как -3(-1.5)).
