У Алика есть игрушечные машинки. Сначала он посторожил их в ряды по 10 машинок, и у него стлались 6 лишних. Тогда Алик построил машинки в ряды по 7, и лишних не сталось. Сколько машинок у Алика, если их больше 40, но меньше 70?

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся системами уравнений и исчислением остатков. 1. Алик попытался поставить свои машинки в ряды по 10 штук и у него осталось 6 лишних. Это можно записать уравнением: \[ n \equiv 6 \pmod{10} \] Здесь \( n \) – количество машинок. 2. Затем он разместил машинки в ряды по 7, и лишних не осталось. Это запишем как: \[ n \equiv 0 \pmod{7} \] 3. Нам также известно, что машинок у Алика больше 40, но меньше 70: \[ 40 < n < 70 \] Теперь нам нужно найти значение \( n \), удовлетворяющее всем этим условиям. 1. Рассмотрим первую конгруэнцию: \( n \equiv 6 \pmod{10} \). Это значит, что \( n \) может принимать значения вида \( 10k + 6 \), где \( k \) – целое число. 2. Подставим второе условие: \( 10k + 6 \equiv 0 \pmod{7} \). Переведём это в систему: \[ 10k + 6 \equiv 0 \pmod{7} \] \[ 10k \equiv -6 \pmod{7} \] Поскольку \(-6 \equiv 1 \pmod{7}\), упростим: \[ 3k \equiv 1 \pmod{7} \] Теперь найдём обратное к 3 по модулю 7. Такое число \( x \), что: \[ 3x \equiv 1 \pmod{7} \] Можно подобрать \( x = 5 \) (поскольку \( 3 \times 5 = 15 \equiv 1 \pmod{7} \)). Таким образом, \( k \equiv 5 \pmod{7} \), то есть \( k = 7m + 5 \), где \( m \) – целое число. 3. Подставляем значение \( k \) обратно: \[ n = 10k + 6 = 10(7m + 5) + 6 = 70m + 56 \] Теперь ищем \( n \) в диапазоне от 40 до 70: \[ 40 < 70m + 56 < 70 \] Упростим неравенства: \[ -16 < 70m < 14 \] Здесь очевидно, что единственно возможное значение \( m = 0 \) (иначе получатся противоречия), которое даёт: \[ n = 70 \times 0 + 56 = 56 \] Таким образом, у Алика 56 машинок.