У Алика есть игрушечные машинки. Сначала он посторожил их в ряды по 10 машинок, и у него стлались 6 лишних. Тогда Алик построил машинки в ряды по 7, и лишних не сталось. Сколько…

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся системами уравнений и исчислением остатков.

1. Алик попытался поставить свои машинки в ряды по 10 штук и у него осталось 6 лишних. Это можно записать уравнением:

   \[ n \equiv 6 \pmod{10} \]

   Здесь \( n \) – количество машинок.

2. Затем он разместил машинки в ряды по 7, и лишних не осталось. Это запишем как:

   \[ n \equiv 0 \pmod{7} \]

3. Нам также известно, что машинок у Алика больше 40, но меньше 70:

   \[ 40 < n < 70 \]

Теперь нам нужно найти значение \( n \), удовлетворяющее всем этим условиям.

1. Рассмотрим первую конгруэнцию: \( n \equiv 6 \pmod{10} \). Это значит, что \( n \) может принимать значения вида \( 10k + 6 \), где \( k \) – целое число.

2. Подставим второе условие: \( 10k + 6 \equiv 0 \pmod{7} \).

   Переведём это в систему:

   \[ 10k + 6 \equiv 0 \pmod{7} \]

   \[ 10k \equiv -6 \pmod{7} \]

Поскольку \(-6 \equiv 1 \pmod{7}\), упростим:

\[ 3k \equiv 1 \pmod{7} \]

Теперь найдём обратное к 3 по модулю 7. Такое число \( x \), что:

\[ 3x \equiv 1 \pmod{7} \]

Можно подобрать \( x = 5 \) (поскольку \( 3 \times 5 = 15 \equiv 1 \pmod{7} \)).

Таким образом, \( k \equiv 5 \pmod{7} \), то есть \( k = 7m + 5 \), где \( m \) – целое число.

3. Подставляем значение \( k \) обратно:

   \[ n = 10k + 6 = 10(7m + 5) + 6 = 70m + 56 \]

   Теперь ищем \( n \) в диапазоне от 40 до 70:

   \[ 40 < 70m + 56 < 70 \]

   Упростим неравенства:

   \[ -16 < 70m < 14 \]

   Здесь очевидно, что единственно возможное значение \( m = 0 \) (иначе получатся противоречия), которое даёт:

   \[ n = 70 \times 0 + 56 = 56 \]

Таким образом, у Алика 56 машинок.