3.21. Стержень АВ длины l падает, находясь во все время движения в вертикальной плоскости. Концы и В стержня при этом скользят по вертикальной A стене и горизонтальному полу…

Для решения задачи нам нужно определить радиус кривизны траектории точки \( D \) в момент соприкосновения стержня с полом. Давайте разобьем задачу на шаги.

Шаг 1: Определение параметров

1. Длина стержня \( AB = l \).
2. Отрезок \( AC = \frac{l}{2} \).
3. Отрезок \( AD = \frac{3}{4}l \).

Шаг 2: Определение точек и геометрии

Рассмотрим положение стержня АВ в момент соприкосновения, когда одна его часть лежит на полу, а другая касается стены. Поскольку \( D \) — это точка, находящаяся на конце стержня \( AB \), то нам нужно выяснить, где именно находится точка \( D \) в данной конфигурации.

Стержень \( AB \) наклонен под некоторым углом, и в момент соприкосновения стержня с полом он образует прямой угол с вертикальной стеной. Точки \( A \) и \( B \) находятся рядом с концами стержня, где:

• \( A \) соприкасается со стеной,
• \( B \) соприкасается с полом.

Шаг 3: Положение точки D

Для наглядности, разобьем прямоугольный треугольник \( ADB \):

• Прямой угол в \( D \),
• \( AD \) — вертикальная сторона,
• \( DB \) — горизонтальная сторона.

Шаг 4: Вычисления

Так как \( AD = \frac{3}{4}l \) и \( AC = \frac{l}{2} \), то нам нужно найти длину \( DB \). Для этого воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника. Мы знаем, что сумма длин сторон в треугольнике равна длине стержня: \[ AB^2 = AD^2 + DB^2 \] \[ l^2 = \left(\frac{3}{4}l\right)^2 + DB^2 \] Подставим значения: \[ l^2 = \frac{9}{16}l^2 + DB^2 \] Переносим: \[ DB^2 = l^2 - \frac{9}{16}l^2 \] \[ DB^2 = \frac{16}{16}l^2 - \frac{9}{16}l^2 = \frac{7}{16}l^2 \] Теперь находим \( DB \): \[ DB = \sqrt{\frac{7}{16}l^2} = \frac{\sqrt{7}}{4}l \]

Шаг 5: Радиус кривизны

Радиус кривизны \( R \) в точке \( D \) можно найти по формуле: \[ R = \frac{AD^2}{DB} \] Подставим найденные значения: \[ R = \frac{\left(\frac{3}{4}l\right)^2}{\frac{\sqrt{7}}{4}l} = \frac{\frac{9}{16}l^2}{\frac{\sqrt{7}}{4}l} \] Упрощаем: \[ R = \frac{9}{16} \cdot \frac{4}{\sqrt{7}} = \frac{36}{16\sqrt{7}} = \frac{9}{4\sqrt{7}} \]

Ответ

Таким образом, радиус кривизны траектории точки \( D \) в момент соприкосновения стержня с полом равен: \[ R = \frac{9}{4\sqrt{7}} \text{ или } \frac{9\sqrt{7}}{28} \text{ (после рационализации)} \]

Это решение с полными шагами и обоснованиями. Если есть еще вопросы или нужно объяснить какой-либо шаг подробнее, дайте знать!