Чтобы найти третий член геометрической прогрессии (ГП), нужно знать первую и вторую члены, а также значение знаменателя (q) прогрессии.
Первый член ( b_1 = 8 ) и второй член ( b_2 = -32 ).
Знаменатель ( q ) определяется как:
[
q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-32}{8} = -4
]
Теперь найдём третий член ( b_3 ):
[
b_3 = b_2 \cdot q = -32 \cdot (-4) = 128
]
Таким образом, третий член последовательности:
[
b_3 = 128
]
Теперь вычислим сумму первых пяти членов геометрической прогрессии. Формула для суммы первых ( n ) членов ГП:
[
S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}, \quad \text{если } q \neq 1
]
В нашем случае:
- ( b_1 = 8 )
- ( q = -4 )
- ( n = 5 )
Теперь подставим все значения в формулу:
[
S_5 = 8 \cdot \frac{1 - (-4)^5}{1 - (-4)}
]
Сначала найдём ( (-4)^5 ):
[
(-4)^5 = -1024
]
Теперь подставим это значение:
[
S_5 = 8 \cdot \frac{1 - (-1024)}{1 + 4} = 8 \cdot \frac{1 + 1024}{5} = 8 \cdot \frac{1025}{5}
]
Упрощаем:
[
S_5 = 8 \cdot 205 = 1640
]
Таким образом, сумма первых пяти членов:
[
S_5 = 1640
]
Итак, ответы:
- ( b_3 = 128 )
- ( S_5 = 1640 )
