найдите значение выражение tg17°+tg43°/tg17°*tg43°-1

Давайте рассмотрим, как решить выражение \(\frac{\tan 17^\circ + \tan 43^\circ}{\tan 17^\circ \cdot \tan 43^\circ - 1}\).

Шаг 1: Обозначения

Обозначим:

• \(a = \tan 17^\circ\)
• \(b = \tan 43^\circ\)

Тогда выражение можно переписать как: \[ \frac{a + b}{ab - 1} \]

Шаг 2: Исследуем связи между углами

Напомним формулу для тангенса суммы углов: \[ \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \] В нашем случае \(A = 17^\circ\) и \(B = 43^\circ\). Заметим, что \(A + B = 60^\circ\), и знаем, что: \[ \tan 60^\circ = \sqrt{3} \]

Шаг 3: Применение формулы

Используем формулу, подставляя \(A = 17^\circ\) и \(B = 43^\circ\): \[ \tan(17^\circ + 43^\circ) = \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \] Итак, по формуле: \[ \sqrt{3} = \frac{\tan 17^\circ + \tan 43^\circ}{1 - \tan 17^\circ \tan 43^\circ} \]

Шаг 4: Преобразование

Теперь выразим тангенсы в нашем случае: \[ \sqrt{3}(1 - ab) = a + b \]

Умножив обе стороны на \(ab - 1\), можем разложить выражение: \[ a + b = \sqrt{3} - \sqrt{3}ab \] Из этого уравнения у нас есть: \[ ab = \frac{a + b + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \]

Шаг 5: Подставляем в исходное выражение

Теперь вернемся к нашему выражению: \[ \frac{a + b}{ab - 1} \]

Так как мы знаем, что \(a + b = \sqrt{3}(1 - ab)\), подставим это значение: \[ \frac{\sqrt{3}(1 - ab)}{ab - 1} \] Теперь подставляем \(ab - 1\): \[ \frac{\sqrt{3}(1 - ab)}{ab - 1} = \frac{\sqrt{3}(1 - ab)}{ - (1 - ab)} = -\sqrt{3} \]

Ответ

Таким образом, значение выражения \(\frac{\tan17^\circ + \tan43^\circ}{\tan17^\circ \cdot \tan43^\circ - 1} = -\sqrt{3}\).