Проводится 89 независимых испытаний. Требуется найти вероятность того, что событие A произойдёт ровно 71 раз. Вероятность наступления события A в отдельном испытании составляет…

Для решения этой задачи используем биномиальное распределение, которое применимо к случаям, когда мы имеем несколько независимых испытаний, и каждое испытание имеет два возможных исхода: событие происходит или не происходит.

Формула для вычисления вероятности того, что событие произойдет ровно \( k \) раз в \( n \) испытаниях, выражается как:

\[ P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где:

• \( C_n^k \) — биномиальный коэффициент, который равно \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\),
• \( p \) — вероятность наступления события в одном испытании,
• \( n \) — общее количество испытаний,
• \( k \) — количество раз, которое мы хотим, чтобы событие произошло.

Даны:

• \( n = 89 \),
• \( k = 71 \),
• \( p = 0.8 \).

Подставляем эти значения в формулу:

\[ P_{89}(71) = C_{89}^{71} \cdot 0.8^{71} \cdot (1-0.8)^{89-71} \]

Упростим:

\[ P_{89}(71) = C_{89}^{71} \cdot 0.8^{71} \cdot 0.2^{18} \]

Из предложенных вариантов ответа, правильной формуле соответствует:

\[ P_{89}(71) = C_{89}^{71} \cdot 0.8^{71} \cdot 0.2^{18} \]

Это соответствует первому варианту:

\[ P_{89}(71) = C_{89}^{71} \cdot 0.8^{71} \cdot 0.2^{18} \]

Таким образом, правильный ответ — первый.