Для решения задачи найдем длину медианы, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 15 см и 36 см.
Шаг 1: Находим длину гипотенузы
В прямоугольном треугольнике длина гипотенузы ( c ) может быть найдена по теореме Пифагора:
[
c = \sqrt{a^2 + b^2}
]
где ( a ) и ( b ) — длины катетов.
Подставляем данные:
[
a = 15 , \text{см}, \quad b = 36 , \text{см}
]
[
c = \sqrt{15^2 + 36^2}
]
[
c = \sqrt{225 + 1296}
]
[
c = \sqrt{1521}
]
[
c = 39 , \text{см}
]
Шаг 2: Находим длину медианы
Длина медианы ( m ), проведенной к гипотенузе, рассчитывается по следующей формуле:
[
m = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}
]
Где:
- ( a ) и ( b ) — длины катетов,
- ( c ) — длина гипотенузы.
Подставляем известные значения:
[
m = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 15^2 + 2 \cdot 36^2 - 39^2}
]
Сначала вычислим каждую часть:
[
2 \cdot 15^2 = 2 \cdot 225 = 450
]
[
2 \cdot 36^2 = 2 \cdot 1296 = 2592
]
[
39^2 = 1521
]
Теперь подставим в формулу:
[
m = \frac{1}{2} \sqrt{450 + 2592 - 1521}
]
[
m = \frac{1}{2} \sqrt{450 + 2592 - 1521}
]
[
m = \frac{1}{2} \sqrt{450 + 1071}
]
[
m = \frac{1}{2} \sqrt{1521}
]
[
m = \frac{1}{2} \cdot 39
]
[
m = 19.5 , \text{см}
]
Ответ
Длина медианы, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 19.5 см.
