Прямоугольный треугольник вращается вокруг своего длинного катета 16 см и вокруг своего короткого катета 12 см. Ответ: площадь боковой поверхности конуса, образованного при вращении вокруг длинного катета, равна ? π см²; площадь боковой поверхности конуса, образованного при вращении вокруг короткого катета, равна ? π см².

Для решения данной задачи сначала вспомним основные формулы, которые нам понадобятся для нахождения площади боковой поверхности конуса. ### Основные факты 1. **Площадь боковой поверхности конуса** вычисляется по формуле: \[ S = \pi r l, \] где \(S\) — площадь боковой поверхности, \(r\) — радиус основания конуса, \(l\) — образующая (или длина боковой стороны) конуса. 2. **Образующая конуса** при вращении может быть найдена с помощью теоремы Пифагора: \[ l = \sqrt{r^2 + h^2}, \] где \(h\) — высота конуса. Теперь давайте разберём два случая, когда прямоугольный треугольник вращается вокруг длинного и короткого катета. ### 1. Вращение вокруг длинного катета (16 см) - Здесь длинный катет является высотой \(h = 16\) см, а короткий катет, который становится радиусом, равен \(r = 12\) см. - Теперь мы можем найти образующую \(l\): \[ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \text{ см}. \] - Теперь, подставляя значения в формулу для площади боковой поверхности: \[ S = \pi r l = \pi \cdot 12 \cdot 20 = 240\pi \text{ см}². \] ### 2. Вращение вокруг короткого катета (12 см) - В этом случае короткий катет является высотой \(h = 12\) см, а длинный катет — радиусом \(r = 16\) см. - Сначала найдем образующую \(l\): \[ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20 \text{ см}. \] - Теперь подставим значения в формулу для площади боковой поверхности: \[ S = \pi r l = \pi \cdot 16 \cdot 20 = 320\pi \text{ см}². \] ### Ответ Таким образом, мы находим: - Площадь боковой поверхности конуса, образованного при вращении вокруг длинного катета, равна \(240\pi \text{ см}²\). - Площадь боковой поверхности конуса, образованного при вращении вокруг короткого катета, равна \(320\pi \text{ см}²\).