Прямоугольный треугольник вращается вокруг своего длинного катета 16 см и вокруг своего короткого катета 12 см. Ответ: площадь боковой поверхности конуса, образованного при…

Для решения данной задачи сначала вспомним основные формулы, которые нам понадобятся для нахождения площади боковой поверхности конуса.

Основные факты

1. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: \[ S = \pi r l, \] где \(S\) — площадь боковой поверхности, \(r\) — радиус основания конуса, \(l\) — образующая (или длина боковой стороны) конуса.

2. Образующая конуса при вращении может быть найдена с помощью теоремы Пифагора: \[ l = \sqrt{r^2 + h^2}, \] где \(h\) — высота конуса.

Теперь давайте разберём два случая, когда прямоугольный треугольник вращается вокруг длинного и короткого катета.

1. Вращение вокруг длинного катета (16 см)

• Здесь длинный катет является высотой \(h = 16\) см, а короткий катет, который становится радиусом, равен \(r = 12\) см.
• Теперь мы можем найти образующую \(l\):

\[ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \text{ см}. \]

• Теперь, подставляя значения в формулу для площади боковой поверхности:

\[ S = \pi r l = \pi \cdot 12 \cdot 20 = 240\pi \text{ см}². \]

2. Вращение вокруг короткого катета (12 см)

• В этом случае короткий катет является высотой \(h = 12\) см, а длинный катет — радиусом \(r = 16\) см.
• Сначала найдем образующую \(l\):

\[ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20 \text{ см}. \]

• Теперь подставим значения в формулу для площади боковой поверхности:

\[ S = \pi r l = \pi \cdot 16 \cdot 20 = 320\pi \text{ см}². \]

Ответ

Таким образом, мы находим:

• Площадь боковой поверхности конуса, образованного при вращении вокруг длинного катета, равна \(240\pi \text{ см}²\).
• Площадь боковой поверхности конуса, образованного при вращении вокруг короткого катета, равна \(320\pi \text{ см}²\).