Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Труд» играет три матча с разными командами. Найдите…

Для решения этой задачи воспользуемся концепцией вероятности и биномиального распределения.

У нас есть три матча, и в каждом из них команда «Труд» имеет 50% вероятность проиграть жребий (то есть, другая команда начинает игру с мячом) и 50% вероятность выиграть жребий (труд начинает с мячом).

Обозначим:

• \( p \) — вероятность проигрыша жребия (то есть проиграть жребий), \( p = 0.5 \).
• \( q \) — вероятность выигрыша жребия, \( q = 1 - p = 0.5 \).

Наша задача — найти вероятность того, что команда «Труд» проиграет жребий ровно 2 раза из 3 матчей.

Это можно рассчитать с помощью формулы для биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где:

• \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае, 3 матча),
• \( k \) — количество успешных исходов (в нашем случае, проигрышей, \( k = 2 \)),
• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Теперь подставим наши значения в формулу.

1. Найдем биномиальный коэффициент \( C(3, 2) \):

\[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3. \]

2. Подставим всё в формулу вероятности:

\[ P(X = 2) = C(3, 2) \cdot p^2 \cdot q^{3-2} \] \[ P(X = 2) = 3 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^1 \] \[ = 3 \cdot 0.25 \cdot 0.5 \] \[ = 3 \cdot 0.125 = 0.375. \]

Таким образом, вероятность того, что команда «Труд» проиграет жребий ровно два раза в трех матчах, составляет 0.375 или 37.5%.