В треугольнике АВС АВ=4√3, ВС=3, Sавс=3√3 Найти АС

Чтобы найти длину стороны \( AC \) в треугольнике \( ABC \), где известны длины сторон \( AB \) и \( BC \), а также площадь треугольника \( S_{abc} \), будем использовать формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними. 1. **Дано:** - Длина стороны \( AB = 4\sqrt{3} \) - Длина стороны \( BC = 3 \) - Площадь треугольника \( S_{abc} = 3\sqrt{3} \) 2. **Формула для площади треугольника:** Площадь треугольника может быть вычислена по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) \] где \( a \) и \( b \) — длины двух сторон, а \( C \) — угол между ними. В нашем случае можем обозначить: - \( a = AB = 4\sqrt{3} \) - \( b = BC = 3 \) - \( S_{abc} = 3\sqrt{3} \) 3. **Подставим известные значения в формулу:** \[ 3\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{3}) \cdot 3 \cdot \sin(C) \] 4. **Упростим уравнение:** \[ 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \cdot \sin(C) \] 5. **Разделим обе стороны на \( 6\sqrt{3} \):** \[ \sin(C) = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{2} \] Таким образом, \( C = 30^\circ \) или \( C = 150^\circ \). Но для треугольника выбираем \( C = 30^\circ \). 6. **Теперь применим закон косинусов для нахождения стороны \( AC \):** Зная длины сторон и угол, можно использовать закон косинусов: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \] где \( c = AC \), \( a = AB \), \( b = BC \). Подставим известные значения: \[ AC^2 = (4\sqrt{3})^2 + 3^2 - 2 \cdot (4\sqrt{3}) \cdot 3 \cdot \cos(30^\circ) \] 7. **Вычислим каждую часть:** - \( (4\sqrt{3})^2 = 48 \) - \( 3^2 = 9 \) - \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) Теперь подставим: \[ AC^2 = 48 + 9 - 2 \cdot (4\sqrt{3}) \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] Упростим: \[ AC^2 = 48 + 9 - 12 \cdot 3 = 48 + 9 - 36 = 21 \] 8. **Находим \( AC \):** \[ AC = \sqrt{21} \] Таким образом, длина стороны \( AC \) в треугольнике \( ABC \) равна \( \sqrt{21} \).