В треугольнике АВС АВ=4√3, ВС=3, Sавс=3√3 Найти АС
Чтобы найти длину стороны \( AC \) в треугольнике \( ABC \), где известны длины сторон \( AB \) и \( BC \), а также площадь треугольника \( S_{abc} \), будем использовать формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними.
Дано:
- Длина стороны \( AB = 4\sqrt{3} \)
- Длина стороны \( BC = 3 \)
- Площадь треугольника \( S_{abc} = 3\sqrt{3} \)
Формула для площади треугольника: Площадь треугольника может быть вычислена по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) \] где \( a \) и \( b \) — длины двух сторон, а \( C \) — угол между ними.
В нашем случае можем обозначить:
- \( a = AB = 4\sqrt{3} \)
- \( b = BC = 3 \)
- \( S_{abc} = 3\sqrt{3} \)
Подставим известные значения в формулу: \[ 3\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot (4\sqrt{3}) \cdot 3 \cdot \sin(C) \]
Упростим уравнение: \[ 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \cdot \sin(C) \]
Разделим обе стороны на \( 6\sqrt{3} \): \[ \sin(C) = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{2} \] Таким образом, \( C = 30^\circ \) или \( C = 150^\circ \). Но для треугольника выбираем \( C = 30^\circ \).
Теперь применим закон косинусов для нахождения стороны \( AC \): Зная длины сторон и угол, можно использовать закон косинусов: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \] где \( c = AC \), \( a = AB \), \( b = BC \).
Подставим известные значения: \[ AC^2 = (4\sqrt{3})^2 + 3^2 - 2 \cdot (4\sqrt{3}) \cdot 3 \cdot \cos(30^\circ) \]
Вычислим каждую часть:
- \( (4\sqrt{3})^2 = 48 \)
- \( 3^2 = 9 \)
- \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Теперь подставим: \[ AC^2 = 48 + 9 - 2 \cdot (4\sqrt{3}) \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Упростим: \[ AC^2 = 48 + 9 - 12 \cdot 3 = 48 + 9 - 36 = 21 \]
Находим \( AC \): \[ AC = \sqrt{21} \]
Таким образом, длина стороны \( AC \) в треугольнике \( ABC \) равна \( \sqrt{21} \).
