В правильной пирамиде MABCD боковое ребро равно ребру основания. На рёбрах AD, АВ и ВС взяты соответственно точки Р, R и Q — середины этих рёбер. Найдите косинус двугранного угла…

Чтобы найти косинус двугранного угла \( P(MR)Q \) в правильной пирамиде \( MABCD \), давайте сначала разберёмся с тем, что такое двугранный угол и как его можно найти.

Шаг 1: Определяем основные элементы пирамиды

1. Правильная пирамида — это пирамида, у которой основание является правильным многоугольником, а боковые рёбра одинаковы по длине. В данном случае основание \( ABCD \) — это квадрат, а боковые рёбра равны. Обозначим длину рёбер основания как \( a \).
2. Поскольку пирамида правильная, высота \( h \) из вершины \( M \) на основание будет равна длине бокового ребра.

Шаг 2: Определяем координаты точек

• Рассмотрим координаты точек в декартовой системе:
  • \( A(0, 0, 0) \)
  • \( B(a, 0, 0) \)
  • \( C(a, a, 0) \)
  • \( D(0, a, 0) \)
  • \( M\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, h\right) \), где \( h = a \) (длина бокового ребра).

Шаг 3: Находим координаты середины рёбер

Теперь находим координаты точек \( P, Q, R \):

• \( P \) — середина ребра \( AD \): \[ P\left(0, \frac{a}{2}, 0\right) \]

• \( R \) — середина ребра \( AB \): \[ R\left(\frac{a}{2}, 0, 0\right) \]

• \( Q \) — середина ребра \( BC \): \[ Q\left(a, \frac{a}{2}, 0\right) \]

Шаг 4: Находим векторы \( \overrightarrow{PM} \), \( \overrightarrow{MR} \) и \( \overrightarrow{MQ} \)

Теперь нам нужно найти векторы:

• Вектор \( \overrightarrow{PM} \): \[ \overrightarrow{PM} = M - P = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a\right) - \left(0, \frac{a}{2}, 0\right) = \left(\frac{a}{2}, 0, a\right) \]

• Вектор \( \overrightarrow{MR} \): \[ \overrightarrow{MR} = R - M = \left(\frac{a}{2}, 0, 0\right) - \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a\right) = \left(0, -\frac{a}{2}, -a\right) \]

• Вектор \( \overrightarrow{MQ} \): \[ \overrightarrow{MQ} = Q - M = \left(a, \frac{a}{2}, 0\right) - \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a\right) = \left(\frac{a}{2}, 0, -a\right) \]

Шаг 5: Находим косинусы углов

Теперь найдем косинус угла между векторами \( \overrightarrow{MR} \) и \( \overrightarrow{MQ} \) с использованием формулы для косинуса угла между двумя векторами: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \]

1. Сначала находим скалярное произведение \( \overrightarrow{MR} \) и \( \overrightarrow{MQ} \): \[ \overrightarrow{MR} \cdot \overrightarrow{MQ} = (0) \cdot \left(\frac{a}{2}\right) + \left(-\frac{a}{2}\right) \cdot 0 + (-a)(-a) = a^2 \]

2. Найдем длины векторов: \[ |\overrightarrow{MR}| = \sqrt{0^2 + \left(-\frac{a}{2}\right)^2 + (-a)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2} \] \[ |\overrightarrow{MQ}| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + 0^2 + (-a)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2} \]

3. Теперь подставим в формулу для косинуса: \[ \cos \theta = \frac{a^2}{\left(\frac{a\sqrt{5}}{2}\right) \left(\frac{a\sqrt{5}}{2}\right)} = \frac{a^2}{\frac{5a^2}{4}} = \frac{4}{5} \]

Ответ

Косинус двугранного угла \( P(MR)Q \) равен: \[ \cos(P(MR)Q) = \frac{4}{5} \]