В треугольнике ABC на сторонах AB и AC взяты точки M и N так, что AM=1/9AB, AN=3/4AC Чему равна площадь треугольника AMN, если площадь треугольника ABC равна 228

Для решения данной задачи начнем с того, что необходимо найти площадь треугольника AMN, которое образовано точками M и N, взятыми на сторонах AB и AC соответственно. 1. **Заданные условия:** - Площадь треугольника ABC равна 228. - Отношение отрезков на сторонах: \( AM = \frac{1}{9} AB \) и \( AN = \frac{3}{4} AC \). 2. **Рассмотрим пропорции:** Поскольку M делит отрезок AB в отношении \( 1:8 \) (так как \( AM = \frac{1}{9} AB \), а значит \( MB = \frac{8}{9} AB \)), и N делит AC в отношении \( 3:1 \) (так как \( AN = \frac{3}{4} AC \) и, следовательно, \( NC = \frac{1}{4} AC \)), мы можем использовать эти пропорции для того, чтобы выразить площадь треугольника AMN через площадь треугольника ABC. 3. **Формула площади треугольника:** Площадь треугольника AMN можно выразить через площадь треугольника ABC, зная, сколько долей составляет каждая из сторон: - Площадь треугольника AMN = Площадь треугольника ABC × (доля от AB) × (доля от AC). 4. **Вычислим доли:** - Доля от AB: \( \frac{AM}{AB} = \frac{1}{9} \). - Доля от AC: \( \frac{AN}{AC} = \frac{3}{4} \). 5. **Подставляем значения:** \[ \text{Площадь треугольника AMN} = \text{Площадь треугольника ABC} \times \frac{AM}{AB} \times \frac{AN}{AC} = 228 \times \frac{1}{9} \times \frac{3}{4}. \] 6. **Упрощаем:** \[ = 228 \times \frac{1 \times 3}{9 \times 4} = 228 \times \frac{3}{36} = 228 \times \frac{1}{12} = 19. \] Таким образом, площадь треугольника AMN равна 19. **Ответ:** Площадь треугольника AMN равна 19.