В треугольнике ABC на сторонах AB и AC взяты точки M и N так, что AM=1/9AB, AN=3/4AC Чему равна площадь треугольника AMN, если площадь треугольника ABC равна 228

Для решения данной задачи начнем с того, что необходимо найти площадь треугольника AMN, которое образовано точками M и N, взятыми на сторонах AB и AC соответственно.

1. Заданные условия:

   • Площадь треугольника ABC равна 228.
   • Отношение отрезков на сторонах: \( AM = \frac{1}{9} AB \) и \( AN = \frac{3}{4} AC \).

2. Рассмотрим пропорции: Поскольку M делит отрезок AB в отношении \( 1:8 \) (так как \( AM = \frac{1}{9} AB \), а значит \( MB = \frac{8}{9} AB \)), и N делит AC в отношении \( 3:1 \) (так как \( AN = \frac{3}{4} AC \) и, следовательно, \( NC = \frac{1}{4} AC \)), мы можем использовать эти пропорции для того, чтобы выразить площадь треугольника AMN через площадь треугольника ABC.

3. Формула площади треугольника: Площадь треугольника AMN можно выразить через площадь треугольника ABC, зная, сколько долей составляет каждая из сторон:

   • Площадь треугольника AMN = Площадь треугольника ABC × (доля от AB) × (доля от AC).

4. Вычислим доли:

   • Доля от AB: \( \frac{AM}{AB} = \frac{1}{9} \).
   • Доля от AC: \( \frac{AN}{AC} = \frac{3}{4} \).

5. Подставляем значения: \[ \text{Площадь треугольника AMN} = \text{Площадь треугольника ABC} \times \frac{AM}{AB} \times \frac{AN}{AC} = 228 \times \frac{1}{9} \times \frac{3}{4}. \]

6. Упрощаем: \[ = 228 \times \frac{1 \times 3}{9 \times 4} = 228 \times \frac{3}{36} = 228 \times \frac{1}{12} = 19. \]

Таким образом, площадь треугольника AMN равна 19.

Ответ: Площадь треугольника AMN равна 19.