2) f(x)=1/3 x³+3x² на (0;1)
Давайте рассмотрим функцию \( f(x) = \frac{1}{3} x^3 + 3x^2 \) на интервале \( (0; 1) \). Мы разберем, как проанализировать эту функцию, включая нахождение ее производной и исследование ее поведения на данном интервале.
Шаг 1: Нахождение производной
Производная функции позволяет определить, как функция ведет себя: возрастает она или убывает. Найдем производную \( f'(x) \).
\[ f(x) = \frac{1}{3} x^3 + 3x^2 \]
Применим правила дифференцирования:
- Производная от \( \frac{1}{3} x^3 \) равна \( x^2 \) (поскольку \( \frac{1}{3} \times 3 = 1 \)).
- Производная от \( 3x^2 \) равна \( 6x \) (поскольку \( 3 \times 2 = 6 \)).
Сложим производные:
\[ f'(x) = x^2 + 6x \]
Шаг 2: Нахождение критических точек
Чтобы найти критические точки, установим производную равной нулю:
\[ f'(x) = 0 \implies x^2 + 6x = 0 \]
Вынесем \( x \) за скобки:
\[ x(x + 6) = 0 \]
Следовательно, \( x = 0 \) или \( x + 6 = 0 \) (откуда \( x = -6 \)). Однако в интервале \( (0; 1) \) нас интересует только \( x = 0 \), которая сама является границей интервала.
Шаг 3: Проверка поведения функции на интервале
Нам нужно проверить, как функция ведет себя в пределах интервала \( (0; 1) \). Мы выберем несколько тестовых точек: например \( x = 0.1 \) и \( x = 0.5 \).
- Подставим \( x = 0.1 \):
\[ f(0.1) = \frac{1}{3} (0.1)^3 + 3(0.1)^2 = \frac{1}{3} \cdot 0.001 + 3 \cdot 0.01 = \frac{0.001}{3} + 0.03 \approx 0.00033 + 0.03 \approx 0.03033 \]
- Подставим \( x = 0.5 \):
\[ f(0.5) = \frac{1}{3} (0.5)^3 + 3(0.5)^2 = \frac{1}{3} \cdot 0.125 + 3 \cdot 0.25 = \frac{0.125}{3} + 0.75 \approx 0.04167 + 0.75 \approx 0.79167 \]
Шаг 4: Определение поведения функции
- Мы видим, что \( f(0.1) \approx 0.03033 \) и \( f(0.5) \approx 0.79167 \).
- Так как производная \( f'(x) = x^2 + 6x \) всегда положительна для \( x > 0 \), функция возрастает на интервале \( (0; 1) \).
Шаг 5: Итоговый результат
На интервале \( (0; 1) \) функция \( f(x) = \frac{1}{3} x^3 + 3x^2 \) возрастает, начиная с значения \( f(0) = 0 \) (так как \( f(0) = 0 \)) и достигает максимума в \( x=1 \).
Проверив значение в \( x=1 \):
\[ f(1) = \frac{1}{3} (1)^3 + 3(1)^2 = \frac{1}{3} + 3 = \frac{1}{3} + \frac{9}{3} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \]
Таким образом, на интервале \( (0; 1) \) функция \( f(x) \) возрастает от 0 до \( \frac{10}{3} \).
Если есть еще вопросы по этой задаче, не стесняйтесь задавать их!
