(х+3)(х-1)(х-6)>0

Чтобы решить неравенство \((x+3)(x-1)(x-6) > 0\), проведем его анализ с помощью следующего пошагового подхода.

Шаг 1: Нахождение нулей функции

Сначала нужно найти нули (корни) функции, которые удовлетворяют уравнению \((x+3)(x-1)(x-6) = 0\). Это происходит, когда один из множителей равен нулю:

1. \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\)
2. \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)
3. \(x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6\)

Таким образом, критические точки — это \(x = -3\), \(x = 1\), и \(x = 6\).

Шаг 2: Построение интервалов

На числовой прямой имеется четыре интервала, которые мы получаем из критических точек:

1. \( (-\infty, -3) \)
2. \( (-3, 1) \)
3. \( (1, 6) \)
4. \( (6, \infty) \)

Шаг 3: Определение знака на каждом интервале

Теперь проверим знак выражения \((x + 3)(x - 1)(x - 6)\) в каждом интервале. Мы можем выбрать любые значение \(x\) из каждого интервала и подставить его:

1. Интервал \((- \infty, -3)\) (например, \(x = -4\)): \[ (-4 + 3)(-4 - 1)(-4 - 6) = (-1)(-5)(-10) = -50 < 0 \] Знак: отрицательный

2. Интервал \((-3, 1)\) (например, \(x = 0\)): \[ (0 + 3)(0 - 1)(0 - 6) = (3)(-1)(-6) = 18 > 0 \] Знак: положительный

3. Интервал \((1, 6)\) (например, \(x = 2\)): \[ (2 + 3)(2 - 1)(2 - 6) = (5)(1)(-4) = -20 < 0 \] Знак: отрицательный

4. Интервал \((6, \infty)\) (например, \(x = 7\)): \[ (7 + 3)(7 - 1)(7 - 6) = (10)(6)(1) = 60 > 0 \] Знак: положительный

Шаг 4: Составление интервалов с положительным значением

Теперь, исходя из анализа, мы ищем где \((x + 3)(x - 1)(x - 6) > 0\). Это происходит в следующих интервалах:

• \((-3, 1)\)
• \((6, \infty)\)

Шаг 5: Учет границ

Так как в условии неравенство строгое (знак «>»), значения где \((x + 3)(x - 1)(x - 6) = 0\) не включаются в ответ.

Шаг 6: Записывание окончательного ответа

Таким образом, решение данного неравенства: \[ (-3, 1) \cup (6, \infty) \]

Это значит, что любое значение \(x\) из этих интервалов удовлетворяет условию \((x + 3)(x - 1)(x - 6) > 0\).