Монету подбрасывают 7 раз. Какова вероятность того, что цифра выпадет: 1) два раза; 2) ни одного раза; 3) меньше двух раз; 4) не менее двух раз?

Для решения задачи о вероятности выпадения герба или решки при подбрасывании монеты, будем использовать биномиальное распределение.

В нашем случае:

• Подбрасывание монеты — это случайный эксперимент с двумя возможными исходами: "герб" (обозначим его как 1) и "решка" (обозначим его как 0).
• Пусть \(X\) — это количество раз, когда выпадает "герб" (или "цифра").
• Вероятность того, что монета упадет "гербом" (т.е. "цифрой") равна \(p = \frac{1}{2}\), а вероятность "решки" равна \(q = 1 - p = \frac{1}{2}\).
• Общее количество подбрасываний \(n = 7\).

Формула для вероятности \(P(X = k)\) (где \(k\) — количество успехов, то есть количество раз, когда выпадает "герб") в биномиальном эксперименте выглядит следующим образом:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где \(C(n, k)\) — это биномиальный коэффициент и вычисляется по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \]

Для нашей задачи будет 4 вопроса, давайте их разберем.

1) Вероятность того, что "цифра" выпадет два раза (\(P(X = 2)\)):

\[ P(X = 2) = C(7, 2) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{7-2} = C(7, 2) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7 \]

Теперь найдем \(C(7, 2)\):

\[ C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7 - 2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 \]

Подставим значение в формулу:

\[ P(X = 2) = 21 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^7 = 21 \cdot \frac{1}{128} = \frac{21}{128} \approx 0.1641 \]

2) Вероятность того, что "цифра" не выпадет ни разу (\(P(X = 0)\)):

\[ P(X = 0) = C(7, 0) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{7} = C(7, 0) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{7} \]

Где \(C(7, 0) = 1\):

\[ P(X = 0) = 1 \cdot \frac{1}{128} = \frac{1}{128} \approx 0.0078 \]

3) Вероятность того, что "цифра" выпадет меньше двух раз (\(P(X < 2)\)):

Это означает, что нужно найти \(P(X = 0) + P(X = 1)\):

Мы уже нашли \(P(X = 0)\). Теперь найдем \(P(X = 1)\):

\[ P(X = 1) = C(7, 1) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{6} = C(7, 1) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{7} \]

Где \(C(7, 1) = 7\):

\[ P(X = 1) = 7 \cdot \frac{1}{128} = \frac{7}{128} \]

Теперь сложим оба значения:

\[ P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = \frac{1}{128} + \frac{7}{128} = \frac{8}{128} = \frac{1}{16} \approx 0.0625 \]

4) Вероятность того, что "цифра" выпадет не менее двух раз (\(P(X \geq 2)\)):

Это означает, что нужно найти \(1 - P(X < 2)\):

\[ P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16} \approx 0.9375 \]

Ответы:

1. Вероятность того, что "цифра" выпадет два раза: \(\frac{21}{128} \approx 0.1641\)
2. Вероятность того, что "цифра" не выпадет ни разу: \(\frac{1}{128} \approx 0.0078\)
3. Вероятность того, что "цифра" выпадет меньше двух раз: \(\frac{1}{16} \approx 0.0625\)
4. Вероятность того, что "цифра" выпадет не менее двух раз: \(\frac{15}{16} \approx 0.9375\)